1.4.2 三角形三个内角的平分线课件 2023-2024学年北师大版数学八年级下册

第2课时 三角形三个内角的平分线 北师版八年级数学下册 学习目标 在角平分线的基础上归纳出三角形三条内角的平分线的相关性质. 能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题. 重点 难点 新课导入 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线交于一点． 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等． 新课探究 求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F. 求证：∠A 的平分线经过点 P，且 PD=PE=PF. A B C P E F M D N 例2 证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， 且 PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为 D，E， ∴PD = PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. A B C P E F M D N 同理：PE = PF. ∴PD = PE = PF. ∴点 P 在∠A 的平分线上（在一个 角的内部，到角的两边距离相等的点在 这个角的平分线上）， 即∠A 的平分线经过点 P. 比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线 三条角平分线 三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点 钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等 练习 如图，已知△ABC 的周长是20，BO，CO 分别平分∠ABC 和 ∠ACB，OD⊥BC 于点 D，且 OD=3，则△ABC 的面积是_______. 练习 如图，已知△ABC 的周长是20，BO，CO 分别平分∠ABC 和 ∠ACB，OD⊥BC 于点 D，且 OD=3，则△ABC 的面积是_______. 30 【解析】如图，连接 OA，过点 O 分别作 OE⊥AB于点 E，OF⊥AC 于点 F.∵BO，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC，∴OE=OF=OD=3.∵ △ABC 的周长是20，即 AB+BC+AC=20，∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC= AB·OE+ BC·OD+ AC·OF= (AB+BC+AC)·OD= ×20×3=30. 如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E. （1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长； （2）求证：AB = AC + CD. A C B E D 例3 A C B E D ∵AC = BC ∴∠B = ∠BAC（等边对等角） ∵∠C = 90°，∴∠B = ×90°=45°. ∴∠BDE=90°– 45°= 45° ∴BE = DE（等角对等边）. 1 2 在等腰直角三角形 BDE 中 cm（勾股定理）， ∴AC = BC = CD + BD =（4+ ）cm. （1）解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为 E， ∴DE = CD = 4 cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL） ∴AC = AE（全等三角形的对应边相等）. ∵BE = DE = CD， ∴AB = AE + BE = AC + CD. A C B E D 练习 巩固提升 一、三角形内角、外角平分线的综合应用 1.如图，∠MAC 和∠NCA 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线 BD 与∠MAC 的平分线 AD 交于点 D. 求证：CD平分∠ACN. 二、三角形的角平分线与垂直平分线的综合 2.如图，在△OBC 中，BC 的垂直平分线交 BC 于点 P，交∠BOC 的平分线与点 D，DM⊥OC 于点 M，DN⊥