1.3.1线段垂直平分线的性质与判定课件2023-2024学年 北师大版数学八年级下册

3 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定 北师版八年级数学下册 学习目标 证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力. 能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题. 经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力. 重点 难点 新课导入 拿出准备好的纸，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕PA和PB，MA和MB的关系. P A B M P B(A) M 新课导入 我们曾经利用折纸的方法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 请你尝试证明这一结论. P A B M P B(A) M 新课探究 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，且 AC = BC，P 是 MN 上的任意一点. 求证：PA = PB. A B C M N P 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA =∠PCB = 90°. ∵ AC = BC，PC = PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）. ∴ PA = PB（全等三角形的对应边相等）. A B C M N P 练习 如图，在 △ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交边 AB 于点 D，交边 AC 于点E. 若△ABC 与 △EBC 的周长分别是40和24，则 AB 的长为_______. 想一想 你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 已知：线段 AB，点 P 是平面内一点且 PA = PB．求证：P 点在 AB 的垂直平分线上． A B P 证法一：过点 P 作已知线段 AB 的垂线 PC， PA = PB， PC = PC， A B C P ∴Rt△PAC ≌Rt△PBC（HL）． ∴AC = BC， 即 P 点在 AB 的垂直平分线上． 证法二：取 AB 的中点 C，过 P，C 作直线. A B C P ∵AP = BP，PC = PC. AC = CB， ∴△APC ≌△BPC（SSS）. ∴∠PCA =∠PCB（全等三角形的对应角相等）. 又∵∠PCA +∠PCB = 180°， ∴∠PCA =∠PCB =∠90°，即 PC⊥AB. ∴ P 点在 AB 的垂直平分线上. 证法三：过 P 点作∠APB 的角平分线交 AB 于点 C. A B C P ∵AP = BP，∠APC =∠BPC，PC = PC， ∴△APC ≌△BPC（SAS）. ∴AC = BC，∠PCA =∠PCB. 又∵∠PCA +∠PCB = 180° ∴∠PCA =∠PCB = 90° ∴ P 点在线段 AB 的垂直平分线上. 用定义法证明一个点在一条线段的垂直平分线上： 1. 作垂直，证平分； 2. 取中点，证垂直； 3. 作角平分线，(利用三角形全等) 证垂直平分. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC. A B C O 例1 A B C O 证明：∵ AB = AC. ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. ∴直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）. 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. 如图， AB = AC ，DB = DC ，E 是 AD 延长线上一点，求证： BE = CE. 练习 A B C D E A B C D E 随堂演练 1. 2. 3. 21 22 4. A E B D C F A E B D C F 1 2 5. A E B D C A E B D C 课堂小结 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 互逆命题 课后作业 1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $$