1.2.1直角三角形的性质与判定课件 2023-2024学年北师大版数学八年级下册

2 直角三角形 第1课时 直角三角形的性质和判定 北师版八年级数学下册 学习目标 教学目标 1.了解直角三角形两锐角互余及互逆命题的转化; 2.运用勾股定理逆定理判定直角三角形. 1.熟练掌握勾股定理逆命题的证明方法; 2.互逆命题的真假性判定. 重难点 情境导入 在一个直角三角形里住着三个内角,平时,它们三兄弟非常团结.可是有一天,老二突然不高兴,发起脾气来,它指着老大说:“你凭什么度数最大,我也要和你一样大!”“不行啊!”老大说:“这是不可能的,否则,我们这个家就再也围不起来了……”“为什么?”老二很纳闷.你知道其中的道理吗? 老大的度数为90 ,老二若是比老大的度数大,那么老二的度数要大于90 ,而三角形的内角和为180。,相互矛盾,因而是不可能的. 活动1:如下图所示是我们常用的三角板,请计算两锐角的度数之和. 30 +60 =90 45 +45 =90 是不是所有的直角三角形的两个锐角都满足上面关系呢? 知识点一 直角三角形的性质定理 探究新知 如图,在直角三角形ABC中, ∠C=90 ,两锐角的和等于多少? 因为∠C=90 ,由三角形内角和定理,得∠A +∠B+∠C=180 , 即∠A +∠B=90 . 思考:由此,你可以得到直角三角形有什么性质? 定理 直角三角形的两个锐角互余. 应用格式:在Rt ABC 中, ∵ ∠C =90 , ∴ ∠A +∠B =90 . A B C 直角三角形可以用符号“Rt ”表示,直角三角形ABC 可以写成Rt ABC . 知识点二 直角三角形的判定定理 活动2:如图,在 ABC中, ∠A +∠B=90 , 那么 ABC是直角三角形吗? 在 ABC中, 因为 ∠A +∠B +∠C=180 , ∠A +∠B=90 , 所以∠C=90 . 于是 ABC是直角三角形. A B C 定理 直角三角形的两个锐角互余. 应用格式: 在 ABC 中, ∵ ∠A +∠B =90 , ∴ ABC 是直角三角形. A B C 知识点三 勾股定理 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理. b b a a S = a2 + b2 a c b a c b 小正方形的面积= (a – b)2 即 c2 = a2 + b2. = c2 – 4 ab 勾股定理的证明: D E F G H I A B C a b c 如图,在 ABC 中,∠C = 90 ,BC = a, AC = b,AB = c. 分别以 Rt ABC 的三边为边长作正方形AHIB,ACDE,CBFG. 连接 EB,CH. E F G M N H I A B C a b c 过点 C 作 AB 的垂线,分别交 AB 和 HI 于点 M,N. D E F G M N H I A B C a b c ∵EA = CA, ∠EAB =∠CAH, AB = AH, ∴ EAB ≌ CAH(SAS). D E F G M N H I A B C a b c 又∵S正方形 ACDE= 2S EAB, S长方形AHNM = 2S CAH, ∴b2 = S长方形AHNM. 同理 a2 = S长方形MNIB. ∴ c2 = a2 + b2. D 反过来,在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.你能证明此结论吗? 知识点四 勾股定理的逆定理 已知:如图,在 ABC 中,AB2 + AC2 = BC2. 求证: ABC 是直角三角形. A B C 证明:如图作 Rt A'B'C', A' B' C' 使∠A' = 90 ,A'B' = AB,A’C' = AC, 则 A'B'2 + A'C'2 = B'C'2(勾股定理) ∵AB2 + AC2 = BC2, ∴BC2 = B'C'2. ∴BC = B'C'. ∴ ABC ≌ A'B'C'(SSS). ∴∠A =∠A' = 90 . 因此, ABC 是直角三角形. A B C 定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. A 知识点五 互逆命题与互逆定理 观察上面第一个和第二个定理,它们的条件和结论之间有怎样的关系?第三个和第四个呢? 定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 定理 直角三角形的两个锐角互余. 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 再观察下面三组命题: 如果两个角是对顶角,那么它们相等; 如果两个角相等,那么它们是对顶角. 如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧; 如果小明发烧,那么他一定患了肺炎. 一个三角形中相等的边所对的角相等; 一个三角形中相等的角