专题：数列求和导学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

学科：高二数学 模块：选择性必修二 班级 姓名 课题：数列求和 知识梳理 1.特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式：Sn＝ 2.数列求和的几种常用方法 (1)分组求和法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项求和的形式：①＝；②＝；③＝－；④＝；⑤＝－；⑥ln＝ln(n＋1)－ln n. (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 【探究案】 探究一 分组求和 例1、已知数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝3，Sn为其前n项和，则S2 021等于(　　) A．3 030 B．3 031 C．3 032 D．3 033 例2、已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上．(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn. 　 例3、 已知数列an＝(－1)nn2，求数列{an}的前n项和Sn. 跟踪训练1设Sn为数列{an}的前n项和，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则Sn的值为(　　) A．2n－1 B．2n－1－1 C．2n－n－1 D．2n＋1－n－2 2．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝－2，a2 022＝8，则这个数列的前2 022项的和为________． 3、已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)已知数列{bn}满足b1＝－，b2＝－，设cn＝an＋bn，若数列{cn}为等比数列，求数列{bn}的前n项和Sn. 探究二 裂项相消法 例1、若等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=，且S2+a2=1.(1) 求数列{an}的通项公式；(2) 记bn=log3，求数列的前n项和Tn. 例2、 设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3.(1)求an；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 例3、 跟踪训练：1．已知an＝，则a1＋a2＋a3＋…＋a80等于(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 2．数列，，，…，，…的前n项和为(　　) A. B. C. D. 3、已知数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＝2，S4＝16，{an＋1}是等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若an>0，设bn＝log2(3an＋3)，求数列的前n项和． 探究三 错位相减法 例1　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)． 小结：用错位相减法求和时，应注意： ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式． 　例2、已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是公差为1的等差数列，且a2＝3. （1） 求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn. 跟踪训练1、已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和. 探究四 倒序相加法求和 例1　已知函数，当，且时，总有 求m的值；设数列满足，求数列的前n项和 例2、已知正项数列{an}是公比不等于1的等比数列，且lg a1＋lg a2 021＝0，若f(x)＝，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 021)等于(　　) A．2 020 B．4 036 C．2 021 D．4 038 跟踪训练1　若f(x)＋f(1－x)＝2，an＝f(0)＋f ＋f ＋…＋f ＋f(1)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是________． 2、 已知数列的前项和为，满足，（均为常数），且.设函数，记，求数列的前项和． 【巩固练习】 1．数列1，3，5，7…的前n项和Sn为(　　) A．n2＋1－ B．n2＋2－ C．n2＋1－ D．n2＋2－ 2．已知等差数列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，则数列{