2024年中考数学二轮专题复习-二次函数的对称问题

2024年中考数学二轮专题复习-二次函数的对称问题 1．在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与轴交于另一点，其顶点为B，中，．孔明同学用一把宽为3cm带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量： ① 量得cm；② 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合(如图1)，测得抛物线与直尺右边的交点的刻度读数为． 请完成下列问题： (1)写出抛物线的对称轴； (2)求抛物线的解析式； (3)将图中的直尺(足够长)沿水平方向向右平移到点的右边(如图2)，直尺的两边交轴于点、，交抛物线于点、． 求证：． 2．已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）经过A（m，n）、B（2-m，n）两点． (1)求a、b满足的关系式； (2)如果抛物线的顶点P在x轴上，△PAB是面积为1的直角三角形，点C是抛物线上动点（不与A、B重合），直线AC、BC分别与抛物线的对称轴交于点M、N． ①求抛物线的解析式； ②求证：PM=PN． 3．已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（s，t）（其中s≠0）． （1）若抛物线经过（2，7）和（-3，37）两点，且s=1． ①求抛物线的解析式； ②若n＞1，设点M（n，y1），N（n+1，y2）在抛物线上，比较y1，y2的大小关系，并说明理由； （2）若a=2，c=-2，直线y=2x+m与抛物线y=ax2+bx+c的交于点P和点Q，点P的横坐标为h，点Q的横坐标为h+3，求出b和h的函数关系式； （3）若点A在抛物线y=上，且2≤s＜3时，求a的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)D是抛物线上一动点（点D不与点C重合），设点D的横坐标为m，连接，，当的面积等于的面积时，求m的值； (3)当时，二次函数的最小值为，求t的值． 5．如图，已知点，在二次函数的图象上，图象经过点且． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若，求顶点到直线的距离． 6．如图，抛物线与x轴交于A．B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AF的解析式； （3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 7．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O（0，0）、A（2，0），直线y＝2x经过抛物线的顶点B，点C是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结BC、OC、AB，过点C作CE∥x轴，分别交线段OB、AB于点E、F． （1）求抛物线的表达式； （2）当BC＝CE时，求证：△BCE∽△ABO； （3）当∠CBA＝∠BOC时，求点C的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（-2，），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点． (1)证明：△MAB是等边三角形． (2)在⊙M上是否存在点D，使△ACD是直角三角形，若存在，试求点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若P（m，n）是过A，B，C三点的抛物线上一点，当∠APB≤30°时，直接写出m的取值范围．    9．已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点为A(﹣1，0)和点B，与y轴交点为C(0，﹣3)，直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D． （1）求抛物线和直线L的解析式； （2）如图，点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M作MN∥x轴交L于点N，求MN的最大值； （3）点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），为直线AD上一动点，是否存在点M，使得以C、D、M、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标，如果不存在，请说明理由．      10．在平面直角坐标系中，点、在抛物线上． (1)如果，那么抛物线的对称轴为直线___________； (2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，过点P（﹣，）的抛物线．分别交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧） (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点Q是抛物线对称轴上一点，当取得最小值时，求点Q的坐标； (3)当M（m，0），N（0，n）两点满足：， ，且时，若符合条件的M点的个数有2个，直接写出n的取值范围． 12．如图，点A在y轴正半轴上，点B坐标为，点C坐标为．D为AC边上一点，记D点的横坐标为n，过点D作轴，与AB边交于点F，与过B，O，D三点的抛物钱交于点E．连结FO，EC交于点H，EC交AB于点G． (1)求DF，DE的长（用含n的代数式表示）． (2)求的值． 13．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象交x轴于A、