6.2.4 向量的数量积 (第1课时)教学课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2 平面向量的运算 6.2.4 向量的数量积 第1课时 引入 1.前面我们学习了向量的线性运算，即加法、减法和数乘，你能回顾一下它们的研究过程吗? 2.类比于实数的运算，你认为我们接下来应研究向量的什么运算? 背景 返回 → 概念 →性质 → 应用 按加减乘除的顺序，自然就应该研究向量的乘法. 3.假设向量能够进行乘法运算，那么你认为我们应该按照怎样的路径来进行研究? 借助于相关的物理背景，类比于实数的运算，对向量的加法、减法和数乘进行定义，然后进一步探究这些运算的性质(如运算法则、几何意义、运算律)等等，最后应用它们解决几何、物理和其它一些实际问题. 那么向量到底能不能进行乘法运算呢，如果能，又该怎样进行运算呢，是否还如同线性运算一样带有浓厚的实数运算的影子呢?这些都是本节课需要解决的问题. 知识探究 (一) 向量的夹角 1.定义： 研究向量夹角时，两向量的起点一定要相同. 2.范围： [0, π] 3.特殊情况： 返回 练习 2.说出下列两个向量的夹角的大小是多少？ (1) (2) (3) (4) (5) (6) 向量的数量积 思考(3): 由我们刚才的分析可知，功这个数量是由力和位移这两个向量决定的，而且不是用线性运算得出的，在这里我们不妨认为”功是力和位移这两个向量相乘的结果”得到的。 受此启发，在数学上我们引入了“向量的数量积”这个概念. 为什么要补充规定这一点? 思考(4): 从以上的定义过程，你能看出什么，难道“向量相乘”还有别的算法？ 实际上，“向量相乘”，“向量的乘法”只是借用了“相乘”,“乘法”的名称，它与实数的乘法运算区别很大。 返回 向量的数量积 由于以上这种运算的结果是数量，所以我们把这种运算称为向量的数量积，也叫向量的内积，向量的点乘. 事实上，向量相乘还有另外一种运算，其结果仍是向量，叫向量的向量积，也叫向量的外积，向量的叉乘. 如物理学中的电荷在磁场中运动时的受力就涉及这个问题. 在高中数学中，我们只学习向量的数量积。 思考(5): 于是，你认为关于向量的数量积特别注意哪一些问题? 返回 例析 习惯上，我们称 为向量的夹角公式 练习 A C B 知识探究 (二) 投影向量概念 返回 投影向量的表达式 返回 例析 练习 知识探究 (三) 向量数量积的运算性质 返回 课堂小结 2.什么是向量的数量积?其几何意义是怎样的？ 1.本节课，我们是如何开展对向量的数量积进行研究的? 4.本节课所学的向量数量积的运算性质有哪一些，能说说它们的作用吗? 3.如何对向量进行投影? 在定义向量的数量积应注意什么问题? 投影向量的表达式是怎样的？ 一是要先定义了向量的夹角； 二是要补充零向量的数量积; 三是要注意这是一种新的运算，与实数相乘区别很大. 作业 A C B A B C $$