第六章 计数原理 单元教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

人教 A 版高中数学选择性必修第三册 第六章 计数原理 一、单元内容及其解析 1. 内容 在实际生活中，遇到复杂的计数问题时，会自然而然地进行分类、分步计算。本章通过直观经验出发介绍了分类加法计数原理与分步乘法计数原理。这两个计数原理是解决计数问题地基本计数原理。本章围绕这两个基本计数原理探索子集的个数、排列、组合、二项式定理等问题。 在通过归纳分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与排列数公式、组合与组合数公式、子集的个数的过程中感受代数中研究问题的基本方法，从特殊到一般，从具体到抽象。 具体来看，本章本包括三节，6.1 主要是介绍计数问题的原理和方法——分类加法计数原理与分步乘法计数原理，6.2 主要是介绍了两类特殊的计数问题——排列与组合，6.3 主要是介绍了这些计数问题的一个特殊应用——二项式定理。这一结构体系体现了研究数学对象的基本思路。本单元的知识结构如下： 生活背景 两个计数原理 二项式定理 排列、排列数公式 组合、组合数公 应用 1 2. 内容解析 分类加法计数原理和分步乘法计数原理是处理计数问题的两个基本计数原理。其核心问题是探究计数问题的基本原理。从设计巧妙地“数法”入手，首先通过“给一个座位编号”创设不同的情境，让学生分析比较各自的问题的特征以及解决问题的基本环节；然后从特殊到一般，抽象概括出两个基本原理。分类加法计数原理的本质是将一个复杂问题分解为若干“类别”，然后各个击破，分类解决；而分步乘法计数原理的本质是将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”，先对每一个步骤细致分析，再整合为一个完整的过程。排列、组合及二项式定理都是这两个计数原理的应用，所以理解和掌握这两个计数原理是学好本章内容的关键。 从简化运算的角度提出排列与组合这两类特殊的计数问题，解决它们的基本思想和工具是两个基本计数原理。其核心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。排列是从给定个数的不同元素中取出指定个数的元素排成一列，组合是从给定个数的不同元素中取出指定个数的元素作为一组，不同的是排列考虑排序而组合不考虑排序。排列组合在计数原理的基础上，将实际问题中抽取的对象抽象为元素，引入排列与组合的概念，应用分步乘法计数原理得出排列数公式，应用分步乘法计数原理和排列数公式得出组合数公式。在此过程中，体现将实际问题转化为排列与组合问题的数学抽象，将分步的计数问题表示为排列数和组合数的数学模型，以及通过排列数与组合数公式便捷求出计数结果的数学运算。 二项式定理是初中多项式乘法的继续，其推导过程是计数原理的应用。通 过对(a + b)2的展开式的项的特征进行分析，并通过(a + b)3、(a + b)4展开 式的形式特征的分析归纳二项式定理。在此过程中，经历由特殊到一般的思维 过程，在应用二项式定理解决展开式项的问题再经历由一般到特殊的思维过 程，从而建立特殊与一般的关系。二项式系数是一些特殊的组合数，学习二项 式定理可以进一步加深对组合数的认识，同时也为后面学习二项分布等内容的 做铺垫。二项式定理综合性比较强，具有联系不同知识内容的作用。 根据以上分析可以确定本章的教学重点： 2 1. 引导学生通过实例抽象出分类加法计数原理与分步乘法计数原理的概念，并理解概念。 2. 引导学生根据原理分析和解决问题，灵活应用。 3. 引导学生应用原理通过实例抽象出排列组合的概念，并理解概念。 4. 引导学生通过分步乘法计数原理推导排列数公式并对公式进行简单应用。 5. 引导学生通过分步乘法计数原理和排列数公式推导出组合数公式并对公式进行简单应用。 6. 引导学生通过计数原理和多项式乘法法则推导二项式定理并对定理进行认识和应用。 7. 学生经历概念的抽象过程，公式的推导过程掌握代数中研究问题的基本方法是从特殊到一般，从具体到抽象。体悟数学思想方法的应用，提升数学核心素养。 二、单元目标及其解析 1. 目标 （1）通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义。 （2）通过实例理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合 数公式。 （3）能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与 二项展开式有关的简单问题。 2. 目标解析 达成上述目标的标志是： （1）通过“给一个座位编号”的情境问题，经历计数过程的基本环节，从而将具体问题的解决方案归纳为一般方法，得到“完成一件事”有两类不同方案的分类加法计数原理，并拓展成有 n 类不同方案的分类加法计数原理，培养学生从特殊到一般的数学思想，发展数学抽象的素养。 （2）通过“给一个座位编号”的情境问题，经历计数过程的基本环节，从而将具体问题的解决方案归纳为一般方法，得到“完成一件事”有需要两个步骤的分步乘法计数原理，并拓展成有需要 n 个步骤的分步乘法计数原理，培养学生