8.2 一元线性回归模型及其应用第1课时教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.2 一元线性回归模型及其应用 （3 课时，单元教学设计） 1 单元内容与内容解析 1.1 内容 一元线性回归模型 参数的最小二乘估计 模型评价与改进 模型应用 模型假设 模型解释 残差分析 决定系数 R2 一元线性回归模型，一元线性回归模型参数的最小二乘估计. 第 1 课时：一元线性回归模型. 第 2 课时：一元线性回归模型参数的最小二乘估计. 第 3 课时：一元线性回归模型的应用. 1.2 内容解析 一元线性回归模型是描述两个随机变量之间相关关系的最简单的回归模型.当两个变量具有显著的线性相关关系时，可以建立一元线性回归模型来刻画两个变量间的随机关系，并通过模型进行预测. 建立一元线性回归模型的基础是对成对样本数据进行相关性分析.通过散点图，直观观察相关关系的类型、方向和强弱；构造相关系数，定量刻画两个变量相关的正负性和线性相关关系的密切程度.在此基础上，建立一元线性回归模型，使用最小二乘法估计参数，得到经验回归方程，进行预测.为了评价和改进模型，引入残差和残差图，以及决定系数 R2 对模型进行诊断，使其不断完善，帮助决策. 一元线性回归模型是统计学中一种最基础且重要的模型，许多回归模型都是以一元线性回归模型为基础进行研究.其涉及的统计模型的思想、最小二乘思想、方差分析思想（构造统计量，评价回归拟合效果）在统计学中占有重要的地位.在一元线性回归模型的建立和应用过程中，通过创建回归方程、估计模型参数、分析模型有效性、将非线性回归模型转化为线性回归模型等内容的学习，使学生亲力亲为、参与其中，体会统计的思想，理解统计的概念，了解统计分析的一般方法，积累数据分析的经验，增强应用意识.让学生感悟到根据实际情况进行科学决策的必要性和可能性，体会统计思维与确定性思维的差异、归纳推理与演绎证明的差异，夯实“四基”，提高“四能”，全面培养学生的数据分析、数学建模、逻辑 1 推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养. 基于以上分析，确定本单元的教学重点：（1）一元线性回归模型的意义；（2）用最小 二乘法估计回归模型参数的方法；（3）残差分析和决定系数 R2 的意义；（4）一元线性回 归模型的应用. 2 单元目标与目标解析 2.1 目标 （1）结合具体事例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理. （2）掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件进行数据分析. （3）掌握残差分析的方法，理解决定系数 R2 的意义. （4）针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测. 2.2 目标解析 达成上述目标的标志是： （1）知道线性回归模型与函数模型的区别，知道线性回归模型中误差e的含义，知道假设误差e满足 E(e) = 0，D(e) = σ2 的理由. （2）能依据使用距离来刻画接近程度的数学方法了解最小二乘原理，并利用该原理推 导参数估计值的计算公式. （3）会使用统计软件绘制散点图，计算样本相关系数、求回归方程，能用残差、残差 图和决定系数 R2 对回归模型进行评价等. （4）通过具体案例，理解利用一元线性回归模型可以刻画随机变量之间的线性相关关系，在建立一元线性回归模型解决实际问题的过程中，提升数据分析、数学建模、逻辑推理等素养. 3 单元教学问题诊断分析 “一元线性回归模型及其应用”与“成对数据的统计相关性”一样，都是关于定量变量进行的研究.在前一节“成对数据的统计相关性”的学习中，主要介绍了散点图和相关系数，侧重于考查变量之间相关的形态和程度，而“一元线性回归模型及其应用”侧重于考查变量之间的数量关系，展示变量之间的具体形态.因此，可以看作是在前一节基础上的进一步深入刻画.为了揭示这种数量关系，在第一节里引入回归模型这一概念，教学时要注意与函数模型的区别，体会统计思维和确定性思维的差异，这也是由于统计学的学科特点决定的.统计学是建立在数据的基础上，通过演绎方式，对随机现象进行研究的科学.许多样本数据带有随机性，因此，在构建模型时，特地设置了随机误差项 e，反映未列入方程的其它各种因 素对 Y 的影响，并对其均值和方差做了要求.学生们在学习随机误差时可能会存在理解困难.在第二节里，介绍了利用最小二乘原理寻求最佳拟合直线的方法，让学生体会其蕴含的最小 2 二乘思想，认识到最小二乘法是统计分析中一种常用的数据处理方法.利用该方法对模型的 参数做出估计时，学生们容易误将参数的估计值当作模型的参数，对参数的意义理解不够准 确，这是由于对样本的随机性了解不够造成的.教学设计时专门设置解惑环节，消除障碍， 深化理解. 基于以上分析，确定本单元的教学难点：（1）对随机误差的理解；