18.1 勾股定理 课件　2023—2024学年沪科版数学八年级下册

第18章 勾股定理 义务教育沪科版数学八年级下册 Start! 18 .1 勾 股 定 理 18.1 勾股定理 探 究 在行距、列距都是1的方格网中，任意作出几个以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正 方形，如图18-1.并以S1， S2与S3；分别表示几个 正方形的面积. 图18 － 1 18.1 勾股定理 观察图 18－1(1)，并填写： S1＝__________个单位面积； S2＝__________个单位面积； S3＝__________个单位面积. 9 9 18 18.1 勾股定理 观察图 18－1(2)，并填写： S1＝__________个单位面积； S2＝__________个单位面积； S3＝__________个单位面积. 9 16 25 18.1 勾股定理 图18－1(1)，(2)中三个正方形面积之间有怎样的关系，用它们的边长表示，是：_______________________. a2＋b2＝c2 18.1 勾股定理 通过上面的探究，你能发现直角三角形三边的长之间有怎样的关系吗? 定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 18.1 勾股定理 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦. 因此，我们称上述定理为勾股定理国外称为毕达哥拉斯定理. 汉代数学家赵爽把勾股定理叙述成：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦. 18.1 勾股定理 如果直角三角形的两直角边用 a，b表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可表示为 a2 ＋ b2 ＝ c2 . 18.1 勾股定理 已知：如图18－2(1)，在 Rt△ABC 中∠C ＝90°，AB ＝c，BC ＝a，AC ＝ b. 求证：a2 ＋ b2 ＝ c2. 下面，用面积计算来证明这个定理. 18.1 勾股定理 证明 取4个与 Rt△ABC 全等的直角三角形，把它们拼成如图 18－2(2)所示的边长为 a＋b的正方形 EFGH . 18.1 勾股定理 从图中可见，A1B1＝ B1C1 ＝C1D1＝A1D1＝c. 因为∠B1A1E ＋ ∠A1B1E ＝90°，而 ∠A1B1E ＝ ∠D1A1H， 因此∠B1A1E ＋ ∠D1A1H ＝ 90°， ∠D1A1B1 ＝ 90°. 18.1 勾股定理 同理： ∠A1B1C1 ＝ ∠B1C1D1＝ ∠C1D1A1 ＝ 90°， 所以四边形A1B1C1D1，是边长为 c的正方形. 18.1 勾股定理 正方形 EFGH 和正方形 A1B1C1D1的面积分别记作 S正方形EFGH和 S正方形A1B1C1D1则 S正方形EFGH－ 4S△ABC ＝ S正方形A1B1C1D1 即 (a ＋ b)2 － 4 × ab ＝ c2 . 化简，得 a2 ＋ b2 ＝ c2. 18.1 勾股定理 例 题 例1 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图 .已知云梯最多只能伸长 到10m，消防车高 3 m. 救人时云梯伸至最 长，在完成从9 m 高处救人后，还要从 12 m 高处救人，这时消防车要从原处再向着 火的楼房靠近多少米?(精确到 0.1 m) 18.1 勾股定理 分析：如图，设A是云梯的下端点，AB 是伸长后的云梯，B 是第一次救人的地点，D 是第二次救人的地点，过点A的水平线与楼房 ED 的交点为O.则OB ＝9－3＝6(m)，OD ＝12－3＝9(m). 18.1 勾股定理 根据勾股定理，得 AO2＝AB2－OB2＝102－62＝64. 解方程，得 AO ＝8(m). 18.1 勾股定理 设 AC ＝x，则 OC ＝8－x，于是根据勾股定理，得 OC2 ＋ OD2 ＝ CD2， 即 (8－x)2 ＋ 92 ＝ 102， 从而可以解出 x. 请根据上述分析写出解题过程. 18.1 勾股定理 例2 已知：如图18 － 4，在 Rt△ABC 中两直角边AC ＝ 5，BC ＝ 12. 求斜边上的高 CD 的长. 解 在 Rt△ABC 中， AB2 ＝ AC2 ＋ BC2 ＝ 52 ＋ 122 ＝ 169， AB ＝ ＝ 13 . 18.1 勾股定理 又∵ Rt△ABC 的面积 S△ABC ＝ AC·BC ＝ AB·CD， ∴ CD ＝ ＝ ＝ . 18.1 勾股定理 练 习 1. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b. (1) a ＝ 6，b ＝ 8，求c； ∵在Rt△ABC中，∠C ＝ 90°， BC ＝