1.4 角平分线 教案　2023—2024学年北师大版数学八年级下册

1.4 角平分线（2）教案 【教学目标】 1、理解三角形三条角平分线相交于一点，并且这个交点到三角形三边的距离相等； 2、在证明和作图的过程中，体验观察、归纳、猜想、验证的思维过程，发展合情推理能力，培养数学创新意识； 3、体验解决问题的过程，感受成功的快乐，培养学生学习数学的兴趣. 【教学重点、难点】 重点：三角形三个内角的平分线的性质． 难点：综合运用角平分线的判定和性质定理解决几何中的问题 【教学过程】 一、复习回顾 同学们，在上前面的学习中，我们学习了角平分线的性质和判定，下面请同学们回答： 问题1、说一说角平分线的性质定理？ 答案：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 问题2、说一说角平分线的判定定理？ 答案：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 二、动手实践 同学们还记得三角形三边垂直平分线的内容吗？ 请结合该内容大胆猜想一下三角形三个内角的平分线有哪些性质？大胆说出你的猜想。 小组合作，动手实践： 1、 剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个内角的角平分线，观察这三条角平分线，得到的结论是否与你的猜想一致？ 2、动手画一画三角形的内角平分线得到的结论是不是跟猜想的一致？ 3、得出你的结论 结论:三角形三条角平分线相交于一点. 这一点到三角形三边的距离相等． 怎样证明这个结论？ 证明命题:三角形三个角的平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，过点P作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足。 求证： ∠A的角平分线经过点P，且PD=PE=PF． 证明： ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上 PD⊥AB,PE⊥BC ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等.) 同理：PE=PF． ∴PD=PF=PE． ∵PD⊥AB,PF⊥AC,PD=PF ∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.)即 ∠A的角平分线经过点P 定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等. 几何语言： 如图,在△ABC中, ∵BM,CN,AE分别是△ABC的 三条角平分线,且PD⊥AB, PE⊥BC,PF⊥AC(已知), ∴BM,CN,AE相交于一点P,且PD=PE=PF (三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等). 提示:三角形三个内角的平分线的交点叫做三角形的内心. 三、学以致用。 例.如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E. (1)如果CD=4cm,AC的长; (2)求证:AB=AC+CD.E D A B C 解：∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB ∴DE=CD=4cm， 又∵AC=BC，∴∠B=∠BAC， 又∵∠C=90°，∴∠B=∠BAC=45°， ∵ DE⊥AB ∴∠BDE= 90°-∠B=45° ∴BE=DE=4cm 在等腰直角三角形BDE中由勾股定理得BD= cm ∴AC=BC=CD+BD=4+ (cm) （2）由（1）的求解过程可知： Rt△ACD≌Rt△AED（HL） ∴AC=AE(全等三角形对应边相等）又∵BE=DE=CD ∴AB=AE+BE=AC+CD 四、随堂练习 1、思考： 三角形三边垂直平分线和三个内角角角平分线的区别联系 2.已知:如图,∠C=90°, ∠B=30°,AD是Rt△ABC的角平分线.求证:BD=2CD. 3、已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D. 求证:(1)OC=OD; (2)OP是CD的垂直平分线. 选做题 已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F. 求证:点F在∠DAE的平分线上. 五、课堂总结： 问题1、说一说三角形三条角平分线有什么特点？ 答案：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 问题2、你还有哪些收获呢？ 答案：（1）利用这个定理可以证三条直线交于上点； （2）利用这个定理可以一个三角形分割成三个等高的小三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$