5.3.1 函数的单调性 讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1 函数的单调性 目 录 ☯知识清单☯ 1. 函数单调性和导数的关系 - 2 - 2. 求函数的单调区间的步骤 - 3 - 3. 含参单调性的分类讨论 - 4 - 4. 根据函数单调性求参数 - 4 - 5. 非单调函数求参数 - 5 - 6. 构造函数 - 5 - ☯典型例题☯ 母题1：无参函数的单调区间求解 - 6 - 母题2：含参函数的单调区间求解 - 8 - 2-1：函数含参 - 8 - 2-2：区间含参 - 11 - 母题3：已知单调性求参数 - 12 - 3-1：区间含参 - 12 - 3-2：函数含参 - 15 - 母题4：导数与单调性图像问题 - 17 - 母题5：函数单调性的应用 - 21 - 5-1：比较大小 - 21 - 5-2：解不等式 - 24 - ☯知识清单☯ 1. 函数单调性和导数的关系 （1）函数的单调性与导函数的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增； ②单调递减：在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减； ③如果在某个区间内恒有，那么函数在这个区间上是一个常数函数。 （2）函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些。 常见的对应情况如下表所示. 图象 变化规律 且越来越大 且越来越小 且越来越小 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 （3）从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系： 导数表示函数在点处的切线的斜率 2. 求函数的单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）解不等式，函数在解集与定义域的交集上为增函数； （4）解不等式，函数在解集与定义域的交集上为减函数。 注：多个单调区间只能用“和”、“或”、“，”连接。 3. 含参单调性的分类讨论 第一步：求定义域（给定区间此步忽略）； 第二步：求导； 第三步：令导函数，求根； 第四步：根据根的个数，有无意义或在不在区间，大小分类。 4. 根据函数单调性求参数 已知可导函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立； 已知可导函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立； 已知可导函数在区间上存在增区间，则在区间上有解； 已知可导函数在区间上存在减区间，则在区间上有解。 方法一：分离参变量（分离参数法） 求导单调函数（或）参数与新函数的最值关系 注意：①是否取“=”依题意决定； ②最值用单调性（参考单调性求法章节）或基本不等式求解； ③函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题。 方法二：利用集合间的包含关系处理 在上单调，则区间是相应单调区间的子集。 方法三：二次函数型（无法分离参变量） 二次函数在区间上大于（等于）零恒成立，讨论的标准是二次函数的图像的对称轴与区间的相应位置，一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论。 5. 非单调函数求参数 若函数在区间上不单调，则转化为在上有解（需验证解的两侧导数是否异号）。 函数恰好有三个不同的单调区间——导函数有两个零点 函数有两个不同的单调区间——导函数有一个零点 6. 构造函数 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） ☯典型例题☯ 母题1：无参函数的单调区间求解 1. 函数f (x)＝ex－x的单调递增区间为________． 2. （2023·全国·高二课堂例题）求函数的单调区间 ． 3. （2023春·江西萍乡 ）函数的单调递减区间为 . 4. (2021·全国高二单元测试)设为实数，函数，且是偶函数，则的单调递增区间为( ) A． B．， C． D． 5. (2021·全国高二课时练习)求下列函数的单调区间. （1）； （2）； （3）； （4）。 母题2：含参函数的单调区间求解 2-1：函数含参 1. （2023·北京）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)试讨论函数的单调性。 2. （2023·全国·高三专题练习）已知函数．试讨论的单调性． 3. （2023秋·安徽亳州·高三蒙城县第六中学校考阶段练习）已知函数，讨论的单调性。 4. （2022秋·福建厦门 ）已知函数，讨论的单调性。 5. （2023·广东）讨论的