2024年中考九年级数学专题复习：正方形折叠问题综合训练（含答案）

2024年中考九年级数学专题复习：正方形折叠问题综合训练 姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．四边形是正方形，点G、H分别是和上的动点，将四边形沿翻折，点B和点C的对称点分别是E和F． (1)如图1，若点E在上，求证：； (2)若点E恰好是的中点． ①如图2，当正方形的边长为4时，求的长； ②如图3，若交于点P，连接，判断之间的数量关系，并说明理由． 2．如图，正方形中，E是边的中点，将沿折叠，得到，延长交边于点P．    (1)求证：； (2)若，求的长． 3．如图，点在正方形的边上（不与点重合），连接，将沿翻折，使点落在点处，作射线交于点，交于点，连接． (1)求证：． (2)过点作交射线于点． ①求的度数； ②直接写出线段与之间的数量关系． 4．综合与实践 （1）【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，求的正切值； （2）【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，连接交于点，若，求线段的长； （3）【迁移应用】如图3，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，点恰好在同一直线上，若点为的三等分点，，请求出线段的长． 5．在一次数学探究性学习活动中，某学习小组进行以下的探究操作； (1)如图1，矩形中，，，点P是边上的一个动点，将沿进行翻折到，当Q点折叠到上时，求和的长． (2)如图2，当矩形变成正方形，且正方形的边长为，在P点移动的过程中，当时，求的长． (3)当矩形变成正方形，且正方形的边长为10，请在备用图中探究并直接写出当为等腰三角形时线段AP的长． 6．我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．    (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 　 　（填序号）； (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连、． ①求证：四边形是“神奇四边形”； ②如图2，点M、N、P、Q分别是、、、的中点．试判断四边形是不是“神奇四边形”； (3)如图3，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长． 7．综合与实践 数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片对折，使得点A，D重合，点B，C重合，折痕为，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N，折痕为．    (1)如图（1）若，则当点落在上时，和的数量关系是________，的度数为________． 思考探究： (2)在的条件下进一步进行探究，将沿所在的直线折叠，点M的对应点为点．当点落在上时，如图（2），设，分别交于点J，K．若，请求出三角形的面积． 开放拓展： (3)如图（3），在矩形纸片中，，，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为，点A的对应点为点N，展开后再将四边形沿所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点，连接，，若，请直接写出的长．(温馨提示：，) 8．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在轴，轴的正半轴上，直线经过线段的中点，与轴交于点，是线段上一点，作点关于直线的对称点，连接，，．设点的坐标为．    (1)写出点B的坐标是______； (2)当时，求点E的坐标； (3)在点E的整个运动过程中， ①当四边形为菱形时，求点E的坐标； ②若N为平面内一点，当以B，E，F，N为顶点的四边形为矩形时，m的值为______．（请直接写出答案） 9．如图，在正方形中，点，分别是，上的点．    (1)如图①，与交于点，连接，点为的中点，连接，，若，则与的数量关系为__________； (2)如图②，点，分别为，上的点，若，试判断与的位置关系，并证明你的结论； (3)如图③，点为上的点，连接，将正方形沿折叠，使得点落在边的中点处，点的对应点为，若正方形的边长为6，请直接写出折痕的长． 10．综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形． （1）概念理解： 当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________． （2）操作验证： 用正方形纸片进行如下操作（如图（2））： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 试说明：矩形是1阶奇妙矩形．   　　  　　  　　   （3）方法迁移： 用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3