2024年中考九年级数学专题复习：正方形折叠问题综合训练（附答案）

2024年中考九年级数学专题复习：正方形折叠问题综合训练 姓名：___________班级：___________考号：___________ 1.．（1）如图1，在正方形中，相交于点O且则和的数量关系为 ． （2）如图2，在正方形中，E、F、G分别是边上的点，，垂足为H．求证：． （3）如图3，在正方形中，E、F、M分别是边上的点，，，将正方形沿折叠，点M的对应点恰好与边上的点N重合，求的长度． 2．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 问题情景：在矩形中，点E为边上一动点，点F为边上一点，连接EF，将四边形沿折叠，点C、D分别落在点C'、D'处，设． (1)如图1，若，，点F为的中点，延长交于点P．则与的数量关系是　 　，写出图中一个的角：　 　； (2)如图2，若点F为的中点，，，延长交于点P．求与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，，，连接，当点E为的三等分点时，直接写出的值． 3．如图，已知正方形的边长，E为边上一点且长为，动点P从点B出发以每秒的速度沿射线方向运动．在点P的运动过程中，把沿折叠，点B落在点处．设运动时间为t秒． (1)当 时，为直角； (2)是否存在某一时刻t，使得点到直线的距离为？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由． 4．如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接、． (1)求证：； (2)说明； (3)求的面积． 5．在正方形中，点是边上的一点，点是直线上一动点，于，交直线于点． （1）当点运动到与点重合时(如图1)，线段与的数量关系是________． （2）若点运动到如图2所示的位置时，（1）探究的结论还成立吗？如果成立，请给出证明：如果不成立，请说明理由． （3）如图3，将边长为的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、上，请直接写出折痕的长． 6．如图，已知正方形的边长为，为边上一点且长为，动点从点出发以每秒的速度沿射线方向运动．把沿折叠，点落在点处．设运动时间为秒． （1）当________时，为直角； （2）是否存在某一时刻，使得点到直线的距离为？若存在，请求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由． 7．Rt△ABC中，∠BAC＝90°， （1）如图1，分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABFG、ACPE、BCDE，其面积分别记为S1，S2，S3， ①若AB＝5，AC＝12，则S3＝ ； ②如图2，将正方形BCDE沿C折，点D、E的对应点分别记为M、M，若点从M、N分别在直线FG和PH上，且点M是GO中点时，求S1∶S2∶S3； ③如图3，无论Rt△ABC三边长度如何变化，点M必定落在直线FG上吗？ 请说明理由； （2）如图4，分别以AB，AC，BC为边向外作正三角形ABD，ACF，BCE，再将三角形BCE沿BC翻折，点E的对应点记为P，若AB＝保持不变，随着AC的长度变化，点P也随之运动，试探究AP的值是否变化，若不变，直接写出AP的值；若改变，直接写出AP的最小值． 8．将一个正方形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，，点．动点在边上，点在边上，沿折叠该纸片，使点的对应点始终落在边上（点不与重合），点落在点处，与交于点． （Ⅰ）如图①，当时，求点的坐标； （Ⅱ）如图②，当点落在的中点时，求点的坐标； （Ⅲ）随着点在边上位置的变化，的周长是否发生变化？如变化，简述理由；如不变，直接写出其值． 9．如图，在正方形中，点M是边上的中点，将正方形沿折叠，使点A落在点E处，延长交于点N，连接. （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，求的长. 10．综合与实践 问题情境：正方形折叠中的数学 已知正方形纸片ABCD中，AB=4，点E是AB边上的一点，点G是CE的中点，将正方形纸片沿CE所在直线折叠，点B的对应点为点B′． (1)如图1，当∠BCE=30°时，连接BG，B′G，求证：四边形BEB′G是菱形； 深入探究： (2)在CD边上取点F，使DF=BE，点H是AF的中点，再将正方形纸片ABCD沿AF所在直线折叠，点D的对应点为D′，顺次连接B′，G，D′，H，B'，得到四边形B′GD′H． 请你从A，B两题中任选一题作答，我选择　 　题． A题：如图2，当点B'，D′均落在对角线AC上时， ①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由； ②直写出此时点H，G之间的距离． B题：如图3，点M是AB的中点，MN∥BC交CD于点N，当点B'，D′均落在MN上时， ①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由； ②直接写出此时点H，G之间的距离． 11．如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过