2024年中考九年级数学专题复习：四边形中的线段最值问题综合训练（含答案）

2024年中考九年级数学专题复习：四边形中的线段最值综合题 姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的角平分线交DC于点E，点P、Q分别是边AD和AE上的动点（两动点不重合）． （1）PQ+DQ的最小值是　 　． （2）说出PQ+DQ取得最小值时，点P、Q的位置，并在图中画出； （3）请对（2）中你所给的结论进行证明． 2．如图，在平行四边形中，，，，是射线上一点，连接，沿将折叠，得． （1）如图所示，当时，_______度； （2）如图所示，当时，求线段的长度； （3）当点为中点时，点是边上不与点、重合的一个动点，将沿折叠，得到，连接，求周长的最小值． 3．如图所示，平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB=4，BC=6．在不改变矩形ABCD的形状和大小的情况下，当矩形的顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动． （1）当∠OAD=30°时，求点C的坐标； （2）设AD的中点为M，连接OM、MC，若四边形OMCD的面积为时，求OA的长； （3）在点A移动过程中是否存在某一位置，使点C到点O的距离有最大值?若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． 4．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点E、F分别在边AD、AB上，将△AEF沿EF折叠，使得点A的对应点A’恰好落在边CD上． （1）延长CB、A′F交于点H，求证：； （2）若A′点为CD的中点，求EF的长； （3）AA′交EF于点G，再将四边形纸片BCA′F折叠，使C点的对应点C′恰好落在A′F上，折痕MN分别交边CD、BC于点M、N，连接C′G，则C′G的最小值为 ． 5．如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，，，点是线段上一动点（不与点重合），连结，过点作的垂线交射线于点，连接． （1）求的大小； （2）问题探究：动点在运动的过程中， ①是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由． ②的大小是否改变？若不改变，请求出的大小；若改变，请说明理由． （3）问题解决： 如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度． 6．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在y轴，x轴上，当在x轴上运动时，A随之在y轴上运动，矩形的形状保持不变，其中，． (1)取的中点，连接，，求的值． (2)如图2，若以为边长在第一象限内作等边三角形，运动过程中，点到原点的最大距离是多少？ 7．问题提出 （1）如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上作一点P，使得的值最小． 问题探究 （2）如图2，正方形的边长为6，点M在上，且，N是上的一动点，则的最小值是_________． 问题解决 （3）现在各大景区都在流行“真人CS”娱乐项目，其中有一个“快速抢点”游戏，游戏规则如图3，在用绳子围成的一个边长为的正方形场地中，游戏者从边上的点E处出发，分别先后赶往边上插小旗子，最后回到点E．求游戏者所跑的最少路程． 8．问题提出： （1）如图①，已知△ABC中，点D在BC边上，且BD＝2CD．连接AD，则S△ABD：S△ACD＝　 　 ． 问题探究： （2）如图②，已知AD是△ABC的中线，过点D任意作一条直线交AB于点E，交AC延长线于点F．请说明S△AEFS△ABC． 问题解决： （3）如图③，有一个菱形花园ABCD，∠B＝60°，AB＝80米．在对角线AC上有一个凉亭P，测得PC＝30米，按规划，过凉亭P要修建一条笔直的小路EF，使得点E在BC边上，点F在CD边上，连接AE、AF．在四边形AECF中种植花卉，在菱形内其他区域种植草坪．已知花卉每平米400元，草坪每平米120元若要花园中全部种植草坪和花卉，则所需费用至少为多少元？（小路的宽度忽略不计，结果保留整数，≈1.7） 9．如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处 （1）求CE的长； （2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由． 10．如图，四边形纸片ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=CD=6， ∠C=60°．点E是边AD上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△HBE ． （1）当点B、D、H三点在一直线上时，求线段AE的长； （2）当点A的对称点H正好落在DC上时，有动点P从点H出发沿线段HB向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段BA向点A运动，速度均为每秒1个单位长度，连接PQ交折痕BE于点M．设运动时间为t秒． ① 探究：当时间t为何值时，△PBM