1.2 直角三角形 教案　2023—2024学年北师大版数学八年级下册

1.2直角三角形（1）教案 教学目标： 1、能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理,并能应用定理解决实际问题； 2、通过作图的方法探究直角三角形全等的判定定理“HL”； 3、培养学生探究解决问题的能力和合作的品质。 教学重点与难点： 重点：勾股定理及其逆定理的证明方法，会识别互逆命题、互逆定理． 难点：勾股定理及其逆定理的证明． 教学过程: 一、新知导入 同学们，在上前面的学习中，我们学习了直角三角形的有关内容，下面请同学们回答： 问题1.什么是直角三角形？ 答案：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形. 问题2.直角三角形的两个锐角有怎样的关系？ 答案：直角三角形的两个锐角互余. 问题：房梁的一部分如图所示，，其中BC⊥AC， ∠A=30°，AB=7.4 m，点D是AB的中点，且ED⊥AC，垂足分别是E，那么BC的长是多少? 二、新知讲解 想一想：直角三角形的两个锐角为什么互余呢？ 已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°. 求证：∠A+∠B＝90°. 证明：在Rt△ABC中， ∵∠A+∠B+∠C＝90°. 又∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°. 即：直角三角形的两个锐角互余. 思考：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？ 答案：是直角三角形 已知：如图所示，在△ABC中，∠A+∠B＝90°. 求证：△ABC是直角三角形 证明：在△ABC中， ∵∠A +∠B+∠C＝90°. 又∵∠A +∠B＝90°， ∴ ∠C＝90°. ∴△ABC是直角三角形. 即：有两个角互余的三角形是直角三角形. 归纳：直角三角形的性质与判定 定理：直角三角形的两个锐角互余. 几何语言： 在Rt△ABC中， ∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°. 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 几何语言： 在△ABC中， ∵∠A+∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形. 练习1：如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数． 解：由题意可知， ∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－30°－70°＝80°. ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠BAC＝40°. ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°. ∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°. ∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°. 说一说：在上学期，我们通过数方格和割补法得到了勾股定理，谁能说一说勾股定理的内容呢？ 归纳：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 几何语言： ∵△ABC直角是三角形，且∠C＝90°， ∴AC2+BC2=AB2. 探究：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形呢？ 已知：如图所示，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2. 求证：△ABC是直角三角形 证明：如图，作Rt△A′B′C′， 使∠A′＝90°A′B′＝AB,A′C′＝AC, 则A′B′2＋A′C′2＝B′C′2（勾股定理）. ∵AB2＋AC2＝BC2， ∴BC2＝B′C′2. ∴BC＝B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). ∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）. 因此，△ABC是直角三角形. 归纳：定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 几何语言： 在△ABC中 ∵AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形. 练习2：如图，已知∠ABD=90°，AB=8m，AD=17m，DC=20m，BC=25m． （1）求BD的长度；（2）求四边形ABCD的面积． 解：（1）在∴△ABD中， ∵∠ABD=90°， ∴AB2+BD2=AD2， 即：82+BD2=172， ∴BD=15（m）； (2)∵BD=15m，DC=20m，BC=25m， ∴BD2+DC2=BC2， ∴∠BDC=90°， ∴四边形ABCD的面积=AB×BD+CD×BD =×8×15+×20×15 =210(m2)． 议一议：观察下的两组定理，它们的之间有怎样的关系？ 定理：直角三角形的两个锐角互余. 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 答案：它们的条件和结论交换了位置 再观察下面三组命题： （1）如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角. （2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎. （3）一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？ 答案：它们的条件和