6.2.1 向量的加法运算 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算 一 二 三 学习目标 向量加法的三角形法则 向量加法的平行四边形法则 向量加法的运算律 学习目标 复习回顾 1、什么叫向量？ 既有大小又有方向的量叫向量 方向相同或相反的非零向量叫共线向量 3、什么叫相等向量？ 长度相等且方向相同的向量叫相等向量。 2、什么叫共线向量？ 新课导入 我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷。那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算．本节我们就来研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用． 下面先学习向量的加法． 我们知道，位移、力是向量，它们可以合成． 能否从位移、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？ 新知探究 问题1 如图示，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？ 物理知识告诉我们，这个质点两次位移 的结果，与从点直接到点的位移结果相同． 因此，位移可以看作位移与合成的． 数的加法启发我们，从运算的角度看，可以看作与的和，即位移的合成可以看作向量的加法． C B A 位移: 上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量. 新知探究 问题2 如图，已知向量,，求作向量+. 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型. 在平面内任取一点O， ① 作 ， ， ② 则向量 叫做 和 的和， 记作 . 即 . ③ 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 首尾相连，连首尾 (1) (2) (3) (4) 1. 如图，在下列各小题中已知向量 ，分别用两种方法求作向量 . 巩固练习 课本P8 新知探究 我们再来看下力的合成问题 问题3 如图示，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力 F1 和 F2 的作用，你能做出这个物体所受的合力 F 吗？ A B F1 F2 A B O C 我们知道，合力在以 为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长． 从运算角度看， 可以认为是 与 的和，即力的合成可以看作向量的加法. 新知探究 问题4 如图，已知向量，类比力的合成，还可以怎样作出向量+ ①在平面内任取一点O， ②作 ， ， ③以 为邻边作 ， 连结OC，则 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 共起点，连对角 新知探究 问题5 向量加法的平行四边形法则和三角形法则一致吗？为什么？ b b a b a 三 角 形 法 则: 平行四边形法则: A C B a + b B O A C a + b b 首尾相连，连首尾 共起点，连对角 一致。平行四边形法则中利用了相等向量的平移。 我们规定：对与零向量与任意向量规定 作法一：用三角形法则 作法二：用平行四边形法则 例1 如图示，已知向量 ，求作向量 A O B O A B C 典例解析 新知探究 问题6 如果向量，共线，如何作出向量？与数的加法有什么关系? （1）同向 （2）反向 A B C B C A 三角形法则适用于任意两个非零向量求和. 平行四边形法则只适用于两个不共线向量求和. 当两个向量不共线时，两个法则一致. 新知探究 问题7 结合例1和问题4，探索之间的关系。 ①同向 A B C ②反向 B C A （1）当，共线时 （2）当，不共线时 A B C 向量的三角不等式： 反向取等 同向取等 新知探究 问题8 数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？ 是否成立？ b a c b a c 如图，已知 , , ，请作出 ， ， ， . a b　 c b a + a b b a + b a 交换律： 结合律： 向量加法的运算律 典例解析 例2 长江两岸之间没什么大桥的地方，常常通过轮渡进行运输. 如图示，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h. (1) 用向量表示江水速度、船速以及船实际的 航行速度； (2) 求船实际航行的速度大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到1°). A D B C 解：(1) 如右图， 表示江水速