6.1 平面向量的概念 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 第六章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念 一 二 三 学习目标 从物理、几何背景入手，从矢量概念引入向量概念 类比实数在数轴上的表示，给出向量的几何意义 了解相等向量、平行向量、零向量等概念 学习目标 章前导读 在现实生活照中，我们会遇到许多量，其中一些量在取定单位后只用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等。 还有一些量则不是这样，如图中小船的位移。 　如图所示，小船由A地向东南方向航行15 n mile到达B地(速度为10 n mile/h)．如果仅仅给出指令： “由A地航行15 n mile”，小船能否到达B地？ 给出指令：“向东南方向航行”呢？ 小船不一定能到达B地 东 西 北 南 45o 也不一定能 小船的位移 大小：15 n mile 方向：东南方向 方向和距离缺一不可 对于这种既有大小又有方向的量加以抽象，就得到了我们本章将要研究的向量。 新课导入 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，向量既有代数研究对象，也有几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究 数学其他领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用。 本章我们将通过实际背景引入向量的概念，类比数的运算学习向量的运算及其性质，建立向量的运算体系。在此基础上，用向量的语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题。 新知探究 6.1.1 向量的实际背景与概念 像引言中的位移一样，物理中的力、速度、加速度也是这样的量.例如 G 物体受到的重力方向是竖直向下（如图），物体的质量越大，它受到的重力越大 F 物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（如图），物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大 问题1 这些量有怎样的共同特征？ 既有大小，又有方向 “一支笔、一棵树、一本书......”抽象出数量“1”，因此可以用实数表示年龄、身高、长度、面积的等. 对“既有大小、又有方向”的量抽象出向量，因此可以用向量表示诸如力、速度、加速度、位移等量. 概念生成 在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量。 向量 数量 只有大小没有方向的量称为数量. 比如：长度、面积、质量等等. 思考：数量与向量的联系与区别是什么呢？ ①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小； ②向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小， 故向量不能比较大小. 知识链接：物理学中常称向量为矢量，数量为标量。 你还能举出物理学中的一些向量和数量吗？ 动量是向量，时间、路程、功是数量. 向量两要素： 大小，方向 向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁. 6.1.2 向量的几何表示 新知探究 问题2 由于数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量．那么，该如何表示向量呢？ 以位移为例，小船以A为起点,B为终点，线段长度代表小船行进的距离，在终点B处加上箭头表示小船行驶的方向.于是，这条“带有方向的线段”就可以用来表示位移. A(起点) B(终点) 受此启发，可以用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例(标度)画出，它的长短表示向量的大小,箭头的指向表示向量的方向. 在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向． 思考：有向线段包含了哪些要素？ 起点、方向、长度 A B 具有方向的线段叫做有向线段(directed line segment)． （起点） （终点） 概念生成 有向线段 通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向． 以A为起点、B为终点的有向线段记作 ， 线段AB的长度也叫做有向线段 的长度，记作 ． 知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了。 概念生成 向量的几何表示法 向量可以用有向线段 来表示，我们把这个向量记作向量 . 有向线段的长度 表示向量的大小. 用有向线段表示向量，使向量有了直观形象. 向量 的大小称为向量 的长度（或称模），记作： 向量的符号表示法 ①用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如 ， . . . ②用小写字母表示，例如 . . . 印刷用黑体a，书写用a. 概念生成 两个特殊的向量 长度(模)为0的向量，叫做零向量，记作： . 长度(模)为1的向量，叫做单位向量. 即| |=0. 若向量 为单位向量，则| |=1.