圆锥曲线中的三角形 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

圆锥曲线的三角形问题 圆锥曲线中也常含有三角形问题，其中最常考的莫过于焦点三角形.除此之外，像是共焦点三角形、阿基米德三角形也常出现在圆锥曲线中，圆锥曲线中利用解三角形求离心率也是一类难度较大的问题. 1、 焦点三角形 焦点三角形即圆锥曲线上的点与两个焦点连线所构成的三角形. 1、 椭圆： ①焦点三角形的周长为C2(ac)； 已知椭圆 1(a>b>0) 过焦点且与椭圆交于两点，则的周长为定值 ② 1， 有≤ 当且仅当时取等， 所以 1 所以在短轴顶点取得最大值； ③ ； ④Sb2 c|y0|， 所以当P位于短轴顶点时面积有最大值bc； ⑤e； ⑥设焦点三角形内切圆圆心为I，延长PI交于Q，则有 所以； ⑦PF1的最大值和最小值分别是ac、ac； ⑧在过焦点的弦中，垂直于坐标轴的最短，为； 2、双曲线 ①S； ②e（此时P在左支）； ③设三角形内切圆圆心为I，设其横坐标为x0，与三边切点分别为M、N、R，则 |F1RF2RPF1PF22a，即cx0(cx0) 2a,得x0a； ④在过焦点的弦中，垂直于坐标轴的最短，为（即通径）. 注：焦点三角形还常与圆锥曲线的离心率有关，其本质实则为解三角形，抓住三角形边角关系是解决该类问题的关键. 二、共焦点三角形 公理：已知F1、F2为椭圆与双曲线公共焦点，P是它们一个公共点，∠F1PF2θ，则椭圆离心率e1与双曲线离心率e2关系为：1.（见共焦点一节） 三、阿基米德三角形 定义：圆锥曲线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 如图所示，AB为抛物线2py的弦，A()，B(，) 分别过A、B两点作抛物线的切线交于P，则有以下性质： ①阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线对称轴; ②若阿基米德三角形底边过定点，则P的轨迹为一条直线; 注：特殊的，当过焦点时，P的轨迹即为准线，且面积最小值为; ③底边长为a的阿基米德三角形面积最大值为; ④P，); ⑤三角形PAB面积为; ⑥抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此为底边的阿基米德三角形面积的. 四、例题讲解 例1、如图所示，分别是椭圆的左右焦点，过斜率为的直线与相交于两点，且成等差数列，求的离心率. 解：易知 又得 设直线得方程为， 两点的坐标分别为 坐标满足方程组 整理得 则， 于是 所以得 故的离心率为 例2、如图所示，过双曲线左焦点的直线交曲线的左支于两点，为其右焦点，则的值为 . 解： . 故填 学科网（北京）股份有限公司 $$