1.1 等腰三角形 教案2023-2024学年北师大版数学八年级下册

1.1 等腰三角形（3）教案 教学 目标 1．经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力. 2．经历探索等腰三角形判定定理的过程，证明并掌握等腰三角形的判定定理. 3．通过实例体会反证法的含义. 重点 理解并掌握等腰三角形的判定定理和反证法. 难点 运用等腰三角形的判定定理进行证明和计算. 教学环节 教师活动 学生活动 新知导入 一支探险队（A队）在沙漠中遇险，两支救援队(B队、C队）收到探险队发送的求救信号，同样的速度同时出发，展开求援。通过测量，知道∠B＝∠C，那么哪支救援队能先赶到探险队所在地展开救援呢？ 学生根据老师的提问回答问题. 新知讲解 思考：前面我们证明了等腰三角形的两底角相等．反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？你能证明吗？ 已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C． 求证：AB=AC． 证法1：如图，过点A作BC的垂线，垂足为D． ∵ AC⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°． ∵∠B=∠C，AD=AD． ∴△ABD≌△ACD(AAS)． ∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）． 证法2：如图，作∠BAC的平分线,交BC于点D． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD． ∵∠B=∠C，AD=AD． ∴△ABD≌△ACD(AAS)． ∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）． 归纳 等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”） 注意： （1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆． （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． （3）判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角 形，得到边边和角角关系． 例1．已知，如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E． 求证：△AED是等腰三角形． 证明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA， ∴△ABD≌△DCA (SSS)． ∴∠ADB＝∠DAC（全等三角形的对应角相等）． ∴AE=DE(等角对等边) ． ∴△AED是等腰三角形． 练习1：在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是(　　) A．∠A＝50°，∠B＝70° B．∠A＝80°，∠B＝60° C．∠A＝30°，∠B＝90° D．∠A＝70°，∠B＝40° 答案：D 想一想：小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等. 你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？ 指出：小明是这样想的： 如图，在△ABC中，已 知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等，要么不相等. 假设AB＝AC那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B， 这与已知条件∠B≠∠C相矛盾， 因此 AB≠AC． 你能理解他的推理过程吗？ 归纳：反证法：小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法. 反证法的一般步骤： 1.假设:先假设命题的结论不成立;即结论的反面成立; 2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果; 3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 例2：用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：△ABC. 求证： ∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角. 证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨 设∠A和∠B是直角，即 ∠A= 90°，∠B = 90°. 于是 ∠A＋∠B＋∠C = 90°＋ 90°＋ ∠C > 180°. 这与三角形内角和定理相矛盾， 因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角. 练习2.用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60° 证明: 假设∠A ,∠B, ∠C是△ABC的三个内角,且都大于60°, 则∠A> 60°,∠B > 60°, ∠C> 60°, ∴∠A+∠B+∠C>180°; 这与三角形的内角和是180定理矛盾 ∴假设不成立 ∴在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°. 学生在老师的引导下通过添加辅助线构全等的形式进行证明.. （1）作BC边上的高AD 证明后班内交流. （2）作∠BAC的平分线AD.证明后班内交流. 学生认真思考为什么作BC边上的中线不行，并与同伴交流心得，然后听老师讲评，并学习判定定理的符号语言. 学生在老师的引导下进行证明，然后班内交流，最后听老师的点评. 学生独立完成后，班内交流. 学生认真思考问题，并听老师讲解反证法的概念及步骤. 学生在老师的引导下完成，然后班内