4.4.3 不同函数增长的差异 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

不同函数增长的差异 在我们学习过的 一 次函数 、 二 次函数 、 反比例函数 、 幂 函数 、 指数函数 、 对数函数中哪些函数在定义域上是增函数? 情境引入 高中数学 情境引入 h(x) = loga x(a >1) g (x) = ax (a >1) f(x) = kx(k > 0) 高中数学 3 y = x y = y = x 虽然它们都是增函数,但增长方式存在很大差异, 这种差异 正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映. 下面就来研究 一 次函数 f (x ) = kx + b, k > 0 , 指数函数g(x ) = ax (a > 1), 对数函数 h(x) = loga x(a >1) 在定义域内增长方式的差异. 我们采用由特殊到 一般, 由具体到抽象的研究方法. 情境引入 高中数学 分析: (1) 在区间(-∞ ,0)上, 指数函数 y=2x值恒大于0, 一 次函数 y=2x 值恒小于0, 所以我们重点研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异. 以函数 y=2x 与 y=2x为例研究指数函数 、 一 次函数增长方式的差异. 探究一: 高中数学 x y=2x y=2x 0 1 0 0.5 1.414 1 1 2 2 1.5 2.828 3 2 4 4 2.5 5.657 5 3 8 6 以函数 y=2x 与 y=2x为例研究指数函数 、 一 次函数增长方式的差异. (2) 借助信息技术, 在同 一直角坐标系内列表 、 描点作图如下: y=2x y=2x y O 高中数学 x 综上: 虽然函数y=2x 与y=2x都是增函数, 但是它们的增长速度不 同, 函数y=2x的增长速度不变, 但是y=2x 的增长速度改变, 先慢 后快. 高中数学 (3) 观察两个函数图象及其增长方式: 结论 一: 函数y=2x 与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4); 结论二: 在区间(0, 1)上, 函数y=2x 的图象位于y=2x之上; 结论三: 在区间(1,2)上, 函数y=2x 的图象位于y=2x之下; 结论四: 在区间(2,3)上, 函数y=2x 的图象位于y=2x之上. y 8 7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 x (1,2) (2,4) 请大家想象 一 下, 取更大的x值, 在更大的范围内两个函数图象的关系? 想象: 随着自变量取值越来越大, 函数y=2x 的图象几乎与x 轴垂直, 函 数值快速增长, 函数y=2x的增长速度保持不变, 和y=2x 的增长相比几乎 微不足道. 高中数学 总结 一: 函数 y=2x与 y=2x在[0,+∞)上增长快慢的不同如下: 虽然函数 y=2x与 y=2x在[0,+∞)上都是单调递增, 但它们的增长速度 不同, 而且不在 一 个“档次 ”. 随着x 的增大,y=2x 的增长速度越来越快, 会超过并远远大于y=2x的 增长速度. 尽管在x 的 一 定范围内, 2x<2x, 但由于y=2x 的增长最终会快于y=2x 的增长, 因此, 总会存在 一 个x0, 当x>x0 时, 恒有2x>2x. 高中数学 总结二: 一般地指数函数 y=ax(a>1)与 一 次函数 y=kx(k>0)的增长都 与上述类似. 即使k值远远大于a值, 指数函数 y=ax(a>1)虽然有 一段区间会小于 y=kx(k>0), 但总会存在 一 个x0, 当x>x0 时,y=ax(a>1)的增长速度会大 大超过 y=kx(k>0)的增长速度. 高中数学 x 0 5 10 15 20 25 30 y1 5 130 505 1130 2005 3130 4505 y2 5 90 1620 29160 524880 9447840 170061120 y3 5 30 55 80 105 130 155 例1. 三个变量y1,y2,y3 随变量x 变化的数据如下表: 其中关于x呈指数增长的变量是 y2 . 高中数学 分析: (1) 在区间(-∞ ,0)上, 对数函数 y=lgx没意义, 一 次函数值恒小于 0, 所以研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异. x 为例研究对数函数 、 一 次函数增长方式的差异. 探究二:以函数 y=lgx与y = 高中数学 10 1 x y=lgx 1 y = 10 x 0 不存在 0 10 1 1 20 1.301 2 30 1.477 3 40 1.602 4 50 1.699 5 60 1.778 6 以函数 y=lgx与y = x 为例研究对数函数 、 一 次函数增长方式的差异. (2) 借助信息技术, 在同 一直角坐标系内列表 、 描点作图如下: y = x y=lgx y 6 5 4 3 2 1 O 10 20 30 40 50 60 x 高中数学 (3) 观察两个函数图象及其