5.1.2弧度制 教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课题 弧度制 教学目标 教学目标:1、了解弧度制引入的必要性,理解弧度制定义的合理性,能正确进行 弧度与角度的换算; 2、了解角的集合与实数集R 之间可以建立一一对应的关系,会用弧度 制解决简单的实际问题; 3、经历建立弧度制的探究过程,感受引入弧度制的必要性,了解数学 知识发展的过程,提升数学抽象,逻辑推理的数学素养; 教学重点:理解弧度的定义;正确进行弧度与角度的换算 教学难点:弧度制概念的生成 教学过程 时 间 教 学 环 节 主要师生活动 3 分 钟 问 题 导 入 问题 1 、初中学过哪些度量角的单位? 1o 的角是如何定义的吗?度、分、秒又如 何换算呢? 有度、分、秒.将一个圆的圆周分成360等份,每一份的圆弧所对的圆 心角叫做1度的角.这种度量角的单位制叫做角度制. 问题 2 、你知道 60。+ sin 60。等于多少吗? 预计:认为两个量不能相加,因为单位不同,60o 是角度,而sin 60o 是 实数,所以无法相加. 我们知道度量不同的量要用不同的单位,对于同一种量,也可以运用不同 的度量单位,比如,测量身高时,可以使用米,也可以使用尺;测量重量时,在 不同的条件可以使用吨、公斤,也可以使用克等. 此外还有国际公制,有中国市 制,那么,度量角的单位是否只有角度制一种呢? 历史背景:公元六世纪,印度数学家家阿耶波多在创新制作正弦表时, 就发现了 有一个问题不好解释,比如sin 30。= 0.5 ,他发现了什么问题呢? 在这个等式中,单位制是不同的,左边是60进制,右边是10进制为单位,单 位不统一的两个数学对象分别放在等式的左右两侧, 所以阿耶波多想到了能否 对角的度量采用十进制. 【设计意图】引发学生的认知冲突,让学生意识到角度不是实数,产生对角的单 位有必要重新认知的需要,为引入弧度制作准备. 7 分 钟 探 究 新 知 探究活动:根据角的动态定义,射线 OA 绕端点 O 旋转到 OB 形成角a . 在旋转 过程中,射线 OA 上点P (不同于端点 O )的轨迹 是一条圆弧. 记a=n。. 如果要把角的单位统一成十进制,那么就必须借助 用十进制表示的量,这里很明显涉及到两个量:弧 长和半径. 问题3:射线 OA 上三个点 A, A1 , A2 旋转到点 B , B1 , B2 ,在这个过程中,都涉及到哪些量,你能 发现它们之间蕴含着哪些相等关系与不等关系? 涉及到三个量:弧长、半径和圆心角, 显然,弧长、半径是不等的,也不相等,但 角度是相等的. 【设计意图】从历史背景中引出数学问题,引导学生在 熟悉的生活体验中,用数学的眼光进行观察相等关系与不等关系,为下面挖掘“弧 长与半径比值为定值 ”这一隐含的数学现象做好铺垫. 追问 1 、圆心角、半径、弧长这三个量之间存在什么关系呢?能否用我们以前学 过的数学公式来表示他们之间的关系? 在初中我们学过弧长公式l = . 追问 2 、你能否用弧长公式解释在这个运动过程中,弧长和半径都发生变化,而 圆心角不变吗? 圆心角与弧长和半径有关,n = . 当圆心角不变时, = 为定值. 所以,圆心角a 所对的弧长与半径的比值只与角的大小有关. 如图,对同一个圆心角a ,可得: lAB OA = lA1B1 OA1 = ( l A 2 B 2 . OA )2 因此,弧长与半径的比值 l r 只与圆心角的大小有关,当圆心角确定时, l r 也唯一 确定.这就让我们想到可以用弧长与半径的关系度量圆心角. 当弧长与半径相等时, 是一个定值,此时圆心角等于度. 我们把这时 ( l )的比值 1 记为 1 个单位的角, 就可以用这个 1 个单位的角去表示其他的角. r 比如当弧长 l = 2r 时,所对圆心角为 2 个单位的角;当弧长 l = 0.5r 时,所 ( 对圆心角为 0.5 个单位的角,这里 ) ( l )是一个实数,这样 r ( l ) ( 可以用 )来度量角的大小,解决了用实数度量角的大小 r 问题.这就是度量角的另一种单位制——弧度制. 弧度单位用符号 rad 表示,读作弧度. 规定:长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,记作1rad . 【设计意图】通过对初中所学的弧长公式的回顾与变形,不仅从代数关系上说明 了 与角的大小有关,而且这个比值是一个实数,有弧长的参与,学生自然体会 到弧度制的合理性,同时让学生经历从观察、分析到抽象、概括的过程,培养学 生的理性数学思维 6 分 钟 理 解 新 知 弧度制的精髓是把角度和弧度的度量统一起来,极大的简化了与之有关的运 算,在高等数学里,优势相当明显. 问题4:你能否作出 2rad 大小的角? 根据定义,a = = 2 ,即l = 2r 时,弧长所对圆心角为2rad . 问题5:任意角都可以用 l r 的比值表示