1.1 等腰三角形（2）教案 2023--2024学年北师大版数学八年级下册

1.1 等腰三角形（2）教案 教学 目标 1．探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性； 2．经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力； 3．在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉. 重点 等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质. 难点 等边三角形性质与应用 教学环节 教师活动 学生活动 温故知新 1.等腰三角形的两腰相等； 2.等腰三角形的两底角相等（等边对等角）； 3.等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合； 4.等腰三角形是轴对称图形。 新知导入 同学们，在上一节课的学习中，我学探究了等腰三角形的性质，下面请同学们回答： 问题：等腰三角形都有哪些性质呢？ 答案：1、等腰三角形的两底角相等.（等边对等角） 2、 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一). 学生根据老师的提问回答问题. 新知讲解 （一）证明“等腰三角形两底角的平分线相等” 证法1：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线． 求证：BD=CE． 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． ∵∠1=∠ABC，∠2=∠ABC， ∴∠1=∠2． 在△BDC和△CEB中， ∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2． ∴△BDC≌△CEB(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等) 证法2： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线． 求证：BD=CE． 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB． 又∵∠3=∠4． 在△ABC和△ACE中， ∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A． ∴△ABD≌△ACE(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)． （二）证明“等腰三角形两腰上的中线相等” 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC两腰上的中线． 求证：BD=CE． 证明：∵AB=AC，（已知） ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． ∵BE=AB，CD=AC，且AB=AC ∴BE = CD． 在△BDC和△CEB中， ∠ACB=∠ABC，BC=CB，BE = CD． ∴△BDC≌△CEB(SAS)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等) （三）证明“等腰三角形两腰上的高线相等” 方法一： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC两腰上的高线． 求证：BD=CE． 证明：∵AB=AC，（已知） ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． ∵BD和CE是△ABC两腰上的高线 ∴∠CEB=∠BDC=90°（垂直的定义）． 在△BDC和△CEB中， ∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠CEB=∠BDC． ∴△BDC≌△CEB(AAS)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等) （三）证明“等腰三角形两腰上的高线相等” 方法二： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC两腰上的高线． 求证：BD=CE． 证明：∵BD和CE是△ABC两腰上的高线 ∴∠AEC=∠ADB=90°（垂直的定义）． 在△AEC和△ADB中， ∠A=∠A，AB=AC，∠AEC=∠ADB． ∴△AEC≌△ADB (AAS)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等) 议一议：如图, 在△ABC中, AB=AC, 点D、E分别在边AC和AB上. (1)如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE吗?如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB呢?由此，你能得到一个什么结论? 答案：相等 发现：在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE. (2)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗? 如果AD=AC，AE=AB呢?由此，你能得到一个什么结论? 答案：相等 发现：在△ABC中，如果AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE. 想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征？ 猜想：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60° 例2：已知：如图，在△ABC中，AB=AC=BC. 求证：∠A=∠B=∠C=60°. 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C(等边对等角). 又∵AC=BC， ∴∠A=∠B(等边对等角). ∴∠A=∠B=∠C. 在△ABC中， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A=∠B=∠C＝60°. 归纳：等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60° 符号语言： ∵△ABC是等边三角形（