第六章平面向量及其应用知识点整理-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量知识点归纳整理 一、向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 二、向量的线性运算（向量的加、减、数乘运算） （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相反； 当时， 注：①向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． ②两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （2）向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到 ①当不共线时，； ②当同向且共线时，同向，则； ③当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，． 三、向量共线定理和性质 （1）共线向量定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使． （口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． （2）三点共线定理 若A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得 存在唯一的实数，使得 存在实数，使，其中，为平面内任意一点． （3）中线向量定理 在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． 四、平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=． 规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　　　　　　　　　　　　　　　 （2）投影向量 设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. ，向量a在向量b上的投影向量=|a|cosθ. （3）数量积的运算律 已知向量、、和实数，则：①； ②； ③． （4）数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①． ②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④． ⑤． 【常用结论】 两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线 五、平面向量基本定理（力的分解） 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 六、平面向量的坐标表示 （1）正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． （2）平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示． （3）一一对应：向量=向量点． 七、平面向量的坐标运算 （1）向量加、减、数乘的坐标运算 已知向量，，则，①．②． （2）数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) （3）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 八、平面几何中的向量方法 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相