5.3 导数在研究函数中的应用 同步练习-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3导数在研究函数中的应用同步练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知函数 的定义域为，且满足，在 处取极值，则下列说法中正确的是 （    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在处取极小值 D．的最大值为4 2．已知函数，对于，不等式恒成立，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若曲线存在与y轴垂直的切线，则a的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．设函数，则的极大值点和极小值点分别为（   ） A． B． C． D． 6．“函数在区间上单调递增”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数为连续可导函数，的图像如图所示，以下命题正确的是（    ）    A．是函数的极大值 B．是函数的极小值 C．在区间上单调递增 D．的零点是和 8．已知函数在处取得极大值，则（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．或6 二、多选题 9．已知函数， 则（    ） A． 存在唯一的极值点 B． 存在唯一的零点 C．直线与的图像相切 D．若， 则 10．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．是增函数，无极值 B．是减函数，无极值 C．的单调递增区间为，，单调递减区间为 D．是极大值，是极小值 11．如图，在棱长为1的正方体中，E是线段上的动点（不包括端点），过A，，E三点的平面将正方体截为两个部分，则下列说法正确的是（    ）    A．正方体的外接球的表面积是正方体内切球的表面积的3倍 B．存在一点E，使得点和点C到平面的距离相等 C．正方体被平面所截得的截面的面积随着的增大而增大 D．当正方体被平面所截得的上部分的几何体的体积为时，E是的中点 12．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（    ） A．仅有两个极值点 B．有两个极大值点 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 三、填空题 13．已知，函数有两个极值点，则下列说法正确的序号为 ． ①若，则函数在处的切线方程为；②m可能是负数； ③；④若存在，使得，则． 14．若函数的极大值为11，则的极小值为 ． 15．若函数在上没有零点，则实数的取值范围为 ． 16．如图，在直三棱柱中，，，则该三棱柱外接球的表面积为 ；若点为线段的中点，点为线段上一动点，则平面截三棱柱所得截面面积的最大值为 . 四、解答题 17．在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数） (1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率； (2)求椭圆在处的曲率； (3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围． 18．已知函数在点处的切线方程为． (1)求实数和的值； (2)求在上的最大值（其中e是自然对数的底数）． 19．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，方程有三个不相等的实数根，分别记为. ①求的取值范围； ②证明. 20．设函数，其中，e是自然对数的底数． (1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若是非负实数，且函数在上有唯一零点，求的值． 21．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)已知，证明：（其中e是自然对数的底数） 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】由已知可得，得到，根据，求得的值，进而确定的关系式，结合函数奇偶性的定义，可判定AB错误；根据的正负确定的单调性，利用极小值的定义，可判定C正确；利用换元法，结合二次函数的图象与性质求得，可判定D错误. 【详解】因为， 所以，所以， 所以，所以， 因为在处极值，所以，解得， 所以， 所以且， 所以不是奇函数也不是偶函数，所以A、B错误； 对于C中，由B知，， 令