2024年九年级数学中考专题复习：动点路径长的解题策略

中考专题复习：动点路径长的解题策略 初中数学中动点轨迹的问题，一般有两种情况：线段或圆弧．在研究此问题时，可以分三步： (1).利用函数描点法大胆猜想:即对目标点描出它的起点、中点、末点时的位置，连接起来，猜想它是什么形状； （2）寻找不变量，严格证实猜想： 在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，则该动点到某个定点的距离始终保持不变．因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找定直线或定点. （3）利用特殊值算出动点路径长 动点轨迹往往是直线或者圆的一部分。①线段。当动点到某条直线或线段的距离相等时，动点的轨迹很可能是条线段；②当动点是一个固定角的顶点时，轨迹很可能是条弧。③当动点到某定点的长度一定时，轨迹是一条圆弧. 分类举例： 一、定点+定长⇒圆 例1.如图，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点， 点C是线段PQ的中点，且PQ=4．则动点C运动形成的路径长是 . 例2.矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是BC边上一动点，把△ABP沿AP翻折 得△AQP，则CQ的最小值为 . 二、定线+定角⇒圆 例3.如图，以G(0，-1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点， 与y轴交于C，D两点，E为⊙G上一动点，DF⊥AE于点F．当点 E从点C出发顺时针运动到点B时，点F所经过的路径长为 . 例1图 例2图 例3图 例4图 例4.如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P． 从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在 弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为 . 三、定线+定长⇒线段 例5如图1，已知线段AB=6，C、D是AB上两点，且AC=DB=1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动路径长度为_______． 例6.如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60°，OA=1． （1）求O点所运动的路径长； （2）O点走过路径与直线L围成图形的面积． 四、旋转缩放（主从联动）⇒从路径=主路径×缩放比 例7.如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°， BD⊥BE，AD=BC=3，CE=5．P为线段AB上的动点，连接DP，过 点P作PQ⊥DP，交直线BE于点Q，连接DQ．当点P从点A运动 到AC的中点时，线段DQ的中点所经过的路径长为 . 五、坐标定位（多点运动）⇒设参求函数关系 例8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，动点P从点A出发，沿AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C同时出发，沿CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动的时间为t秒（t≥0），则在整个运动过程中，线段PQ的中点M所经过的路径长为 . 练习 1．如图1，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（　　） A． B． C． D． 图1 图2 2．如图2，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（　　） 　 A． B． C． D． 3.∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（　　）【版权所有：21教育】 　第3题图 　第4题图 　第5题图 　第6题图 A． 直线的一部分 B． 圆的一部分 C． 双曲线的一部分 D． 抛物线的一部分 4.如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°