2024年中考数学专题复习：最短路径问题

中考复习北师大版 最短路径问题 一．选择题（共10小题） 1．在△ABC中，AB＝BC，点D在AC上，BD＝6cm，E，F分别是AB，BC边上的动点，△DEF周长的最小值为6cm，则∠ABC＝（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 2．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　） A．140° B．100° C．50° D．40° 3．如图，已知P（3，2），B（﹣2，0），点Q从P点出发，先移动到y轴上的点M处，再沿垂直于y轴的方向向左移动1个单位至点N处，最后移动到点B处停止，当点Q移动的路径最短时（即三条线段PM、MN、NB长度之和最小），点M的坐标为（　　） A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，） 4．如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为（　　） A．16 B．15 C．14 D．13 5．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（10，12），点B在x轴上，AO＝AB，点C在线段OB上，且OC＝3BC，在线段AB的垂直平分线MN上有一动点D，则△BCD周长的最小值为（　　） A． B．13 C． D．18 6．如图，直线l表示一条河，点A，B表示两个村庄，想在直线l上的某点P处修建一个水泵站向A，B两村庄供水．现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设的管道最短的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（　　） A．8 B．7 C．6 D．4 8．如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足（　　） A．PA＝PC B．PA＝PE C．∠APE＝90° D．∠APC＝∠DPE 9．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积为12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为（　　） A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm 10．在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，D为AB上的中点，P为AC上的动点，则PB+PD的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 二．填空题（共5小题） 11．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠DCF的度数为　 　． 12．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝6，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是　 　． 13．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝75°，AB＝10，D，E，F分别在AB，BC，CA上，则△DEF周长的最小值为　 　． 14．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为　 　． 15．如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为　 　cm时，线段CQ+PQ的和为最小． 三．解答题（共5小题） 16．如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米． （1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，有两种方案备选择． 方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）（如图2）； 方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM（即AM+BM）（如图3）． 从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． （2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，若快艇Q在CD之间（即点Q在线段CD上），当DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形，请直接写出结果． 17．已知平面直角坐标系内的点A（m﹣3，2m﹣2）在第二象限，且m为整数，B（3，1）． （1）求点A的坐标； （2）点P是x轴上一动点，当PA+PB最小时，求：①点P的坐标；②PA+PB的最小值． 18．如图，A、B两工厂在河边CD的同侧，A、B两工厂到河边的距离分别为AC＝3.5km，BD＝12.5km，CD＝