9.1 分式及其基本性质 同步分层作业-2023-2024学年数学七年级下册（沪科版）

9.1 分式及其基本性质 分式的概念 如果 a、b 表示两个整式，并且 b 中含有字母，那么式子叫做分式. 其中 a 叫做分式的分子，b 叫做分式的分母. 分式有意义、无意义、值为零的条件：有意义，分母不等于零；无意义，分母等于零；值为零，分子等于零且分母不等于零。 分数的分子与分母同时乘以 (或除以) 一个不等于零的数，分数的值不变. 与分数类似，分式有以下基本性质： 分式的分子与分母都乘以 (或除以) 同一个不等于零的整式，分式的值不变. 即对于分式，有( a,b,m 都是整式,且 m≠0). 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． 像这样，分子与分母只有公因式 1 的分式，叫做最简分式． 约分通常是把分式化成最简分式或者整式. 一般约分化简要彻底，使分子、分母只有公因式 1. 约分的基本步骤： (1) 若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂； (2) 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式． 注意事项： （1）约分前后分式的值要相等； （2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式； （3）约分是对分子，分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个的因式. ：基础过关练 一、单选题 1．若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 2．若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．把分式中的、都扩大为原来的2倍，则分式的值变为原来的（    ）． A．1倍 B．2倍 C．4倍 D．倍 4．下列分式的值与相等的是（　　） A． B． C． D． 5．已知时，分式无意义，则□所表示的代数式是（    ） A． B． C． D． 6．以下式子是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 7．把分式中的、都扩大3倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大6倍 D．扩大9倍 8．在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．下列分式中，是最简分式的是 （   ） A． B． C． D． 10．若分式的值为零，则的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 二、填空题 11．如图，将一张矩形卡片按图1所示的方式分成四块后，恰好能拼成图2所示的矩形，若，则 ． 12．分式有意义，则x的值可以是 .（写出一个符合题意的x的值即可） 13．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 14．使分式无意义的的值是 ． 15．若分式有意义，则x的取值范围是 ． 16．当 时，分式的值为0． 17．已知分式，当 时，分式的值为0． 18．若分式有意义，则x满足的条件是 ． ：培优提升练 三、解答题 19．如图1，有一个高为的瓶子，瓶中水面的高度为，盖好瓶盖后倒置，这时瓶中水面的高度为，如图2，用代数式表示瓶中水的体积与瓶子容积之比；当时，求出这个比值． 20．下列式子中，，哪些是整式？哪些是分式？ 21．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解： 即 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令 则， ． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值 (3)已知为实数，，求分式的值． 22．观察下列式子： 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)直接写出结果：_______； (2)请用上述方法计算（写出具体过程）：______；； (3)直接写出计算结果：_______； (4)直接写出计算结果：________； 23．观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______________________________； (2)写出你猜想的第n个等式：______________________________（用含n的等式表示），并证明． 24．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式______（用含n的等式表示），并证明． 25．观察下列