8.4 因式分解 同步分层作业-2023-2024学年数学七年级下册（沪科版）

8.4 因式分解 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式． 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式. pa + pb + pc= p(a + b + c) 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 正确找出多项式的公因式的步骤： 1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数(当各项系数都为整数时)； 2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 在与 x2－y2，x±y 有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值. 较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化. 解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除. 我们把 a² + 2ab + b² 和 a² - 2ab + b² 这样的式子叫做完全平方式. 完全平方式的特点： 1. 必须是三项式 (或可以看成三项的)； 2. 有两个数或式的平方和； 3. 中间有两底数之积的±2 倍. 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方的形式，便实现了因式分解. 两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方. 分组法因式分解： 步骤： 一分：先分组； 二提：公因式； 三套：公式； 四查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. ：基础过关练 一、单选题 1．若多项式因式分解得，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．已知是整数，若是正整数，则的最小值是（   ） A．31 B．59 C．65 D．124 3．如图，某小区规划在边长为xm的正方形场地上，修建两条宽度相等的甬道，其余部分种草，若该场地种草部分的面积为m2，则甬道的宽度是（　　） A．3 m B．6 m C．9 m D．15 m 4．三位数的平方的末三位数恰好是，这样的三位数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．多于2个 5．如图为2024年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的数与最大的数的积记为n，中间位置上的数记为m．下列所给的数据中，n不可能是（   ） A．37 B．420 C．465 D．512 6．已知，，则（    ） A． B． C．3 D．4 7．在学习了因式分解后，勤奋的琪琪同学通过课余的时间对因式分解的其他方法进行了探究，如：分解因式.设，利用多项式相等得，，故可分解.此时，我们就说多项式既能被整除，也能被整除.根据上述操作原理，下列说法正确的个数为（    ） （1）能被整除； （2）若能被整除，则或； （3）若能被整除，则，. A．0 B．1 C．2 D．3 8．下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 9．下列等式从左到右的变形，其中属于因式分解且分解完全的是（    ） A． B． C． D． 10．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若，则 ． 12．分解因式： ． 13．若，，则的值为 ． 14．分解因式： ． 15．把代数式分解因式后的结果是 ． 16．已知多项式分解因式后能够变成两个含有的一次因式的乘积，则实数的值为 ． 17．已知一个长方形的四条边的长度都是小于10的正整数（单位：），由这个长方形的四条边的长度数可构成一个四位数，且是一个完全平方数，若这个四位数的千位数字与百位数字相同，则这个长方形的面积为 ． 18．若，则代数式的值的平方根为 ． 19．已知能被在10到20之间的两个整数整除，则这两个整数为 ． ：培优提升练 三、解答题 20．（1）计算：①， ②． （2）上述计算所得的这两个等式是否可以作为因式分解的公式使用？用它可以分解有怎样特点的多项式？ （3）分解因式： ①；②． 2