8.3 完全平方公式与平方差公式 同步分层作业-2023-2024学年数学七年级下册（沪科版）

8.3 完全平方公式与平方差公式 简记为：“首平方，尾平方， 积的 2 倍放中间” 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫做完全平方公式. 公式特征： 1. 积为二次三项式； 2. 积中的两项为两数的平方； 3. 另一项是两数积的 2 倍，且与原式中间的符号相同； 4. 公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式和多项式. 注意： 1. 项数、符号、字母及其指数 2. 不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号，变形成符合公式的形式才行。 3. 弄清完全平方公式和平方差公式的区别（公式结构特点及结果） 常用结论： a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab，4ab = (a + b)2 - (a - b)2. 平方差公式：(a + b)(a − b) = a2 − b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用 ：基础过关练 一、单选题 1．已知非负实数满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若是一个完全平方式，则等于（    ） A． B． C． D． 3．的个位数字是（    ）． A．8 B．6 C．5 D．4 4．从1开始的自然数中，把能表示成两个整数的平方差的数从小到大排列，则第个数是（    ） A． B． C． D． 5．若与互为相反数，则的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．64 6．若对于两个多项式的乘积：，能用完全平方公式进行简捷运算，则满足的条件可以是（　　） A．， B．， C．， D．， 7．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．若是完全平方式，则m的值是（　　） A．4 B．8 C． D． 10．按如图所示的方式分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证的等式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，用四个长为，宽为的长方形大理石板不重叠地拼成一个大正方形拼花图案，正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形，当拼成的这个大正方形的边长比中间小正方形的边长多时，大正方形的面积就比小正方形的面积多，那么中间小正方形的边长为 ． 12．已知，则 ． 13．化简： ． 14．定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“偶差”勾股数组．例如：，都是“偶差”勾股数组．令，将从小到大排列，分别记为，，，…，（为正整数），则的值为 ． 15．若，，且，则 ． 16．已知，则代数式的值为 ． 17．一个各位数字都不为0的四位正整数m，若个位与千位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数m为“唯善呈和数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“唯善呈和数”，并规定，则 ；若已知数m为“唯善呈和数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的m的最大值为 ． 18．有、两种规格的长方形纸板，如图，无重合无缝隙地拼成如图所示的正方形，已知该正方形的边长为，种长方形的宽为，则种长方形的面积是 （用含的代数式表示）． ：培优提升练 三、解答题 19．问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1________图2________；（用字母a，b表示）    数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题 （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 拓展运用：如图3，点C是线段上一点，以，为边向两边作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积．（用S，m表示）． 20．若，且，试比较与的大小，并说明理由． 21．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，求的值． 22．通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． (1)【知识生成】 请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）： 方法一： ； 方法二： ； (2)【得出结论】 根据（1）中的结论，请你写出代数式之间的等量关系为 ； (3)【知识迁移】 根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数a，b满足：，，求的值． 23．先化简再求值，其中，满足． 24．某些等式可以