2024年四川省成都市中考数学一轮复习二次根式讲义

二次根式 【知识梳理】 1．二次根式相关概念 （1）二次根式的概念：形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）最简二次根式：被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式． （3）同类二次根式：当二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 2．二次根式有意义的条件 被开方数（式）为非负数 有意义a≥0 3．二次根式的性质 （1）； （2）； （3）． 【拓展】（1）若，则a=0，b=0； （2）若，则a=0，b=0； （3）若，则a=0，b=0； （4）若，则a=0，b=0，c=0． 4．二次根式的运算 ． ． 【真题对接】 1．（2023•新都区模拟）代数式有意义的的取值范围是　　 A．且 B． C． D．且 2．（2023•锦江区校级模拟）已知实数，则代数式的值为 　　． 3．（2023•温江区校级模拟）若，则代数式　　． 4．（2023•锦江区模拟）定义：如图1，在中，点在边上，连接，若的长恰好为整数，则称点为边上的“整点”． 如图2，已知等腰三角形的腰长为，底边长为6，则底边上的“整点”个数为 　　；如图3，在中，，，且边上有6个“整点”，则的长为 　　． 5．（2022•郫都区模拟）已知，，那么的值是 　　． 6．（2022•锦江区校级模拟）已知，均为实数，，则的值为 　　． 【过关精选】 1．下列各式中，一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 2．如果，那么代数式的值是　 　． 3．当等式成立时，　　． 4．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分，求的算术平方根． 5．小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：　　； （2）计算：； （3）若，求的值． 6．在、、、、3.14、0、、、（每两个相邻的1之间依次多一个这9个实数中，无理数有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．有下列各式①；②；③；④；⑤；⑥．其中最简二次根式有　　 A．1 B．2 C．3 D．4 8．如果，那么的取值范围是 　　． 9．若，则代数式的值为　　 A．4 B． C． D． 10．如果，那么　　 A． B． C． D． 11．已知实数、满足，则的值为 　　． 12．计算： （1）； （2）． 13．与最简二次根式是同类二次根式，则　　 14．已知是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 15．化简：化成最简二次根式为　　． 16．已知，，求的值． 17．已知，，将，先化简并求值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次根式 【知识梳理】 1．二次根式相关概念 （1）二次根式的概念：形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）最简二次根式：被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式． （3）同类二次根式：当二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 2．二次根式有意义的条件 被开方数（式）为非负数 有意义a≥0 3．二次根式的性质 （1）； （2）； （3）． 【拓展】（1）若，则a=0，b=0； （2）若，则a=0，b=0； （3）若，则a=0，b=0； （4）若，则a=0，b=0，c=0． 4．二次根式的运算 ． ． 【真题对接】 1．（2023•新都区模拟）代数式有意义的的取值范围是　　 A．且 B． C． D．且 【答案】 【解答】解：根据题意，得 ， 解得：且． 故选：． 2．（2023•锦江区校级模拟）已知实数，则代数式的值为 　2　． 【答案】2． 【解答】解：， ． 故答案为：2． 3．（2023•温江区校级模拟）若，则代数式　2　． 【答案】2． 【解答】解：原式 ， 当时， 原式 ． 故答案为：2 4．（2023•锦江区模拟）定义：如图1，在中，点在边上，连接，若的长恰好为整数，则称点为边上的“整点”． 如图2，已知等腰三角形的腰长为，底边长为6，则底边上的“整点”个数为 　5　；如图3，在中，，，且边上有6个“整点”，则的长为 　　． 【答案】5，9． 【解答】解：如图，于， ， ， ， 为上的一个“整点“， 大于1小于的整数有2，3， 上还有两个“整点“（不包括，上也还有两个“整点“（不包括， 上一共有5个“整点“； 如图，于， 小于的最大整数为4，小于的最大整数为5， 左侧的“整点“比右侧的“整点“少一个， 边上有6个“整点”， 左侧的“整点”到的距离分别为4，3，右侧的“整点”到的距离为5，4，3，且， ，， ； 故答案为：5，9． 5．（2022•郫都区模拟）已知，，那么的值是 　　． 【答案】． 【解答】解：原式， 由题意可得： ， ，