8.6.3 平面与平面垂直(第1课时）课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第1课时 二面角及平面与平面垂直的判定 一 、知识回顾·情境导入 前面我们学习了直线与直线垂直，直线与平面垂直，那么平面与平面垂直是怎样判定的呢？ 研究直线与平面垂直的时候，在定义时利用了直线与直线的垂直.所以直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础. 一 、知识回顾·情境导入 建筑工人砌墙时为了保证墙面与地面垂直，常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直. 1.由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线 可作无数个平面，那么这些平面与已知平面 有何关系？ 2.若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否得出一个方法？ 垂直. 在一平面内找一直线垂直于另一平面. 二 、课堂合作·新知探究 二面角的概念 平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面． 1.半平面 半平面 半平面 2.二面角 (1)概念： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 二 、课堂合作·新知探究 二面角的概念 ③棱记作l，这个二面角记作二面角α-l-β或P-l-Q. 2.二面角 (2)图形： α β A B (3)记法： ①棱为AB，面为α、β的二面角记作二面角α-AB-β. ②也可在α、β内(棱以外的半平面部分)分别取点P、 Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q. P Q l 【思考】如图，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？ 二 、课堂合作·新知探究 二面角的概念 二 、课堂合作·新知探究 二面角的概念 生活中的二面角 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. 3.二面角的平面角 α β l A B O ∠AOB的大小与点O在l上的位置有关吗?为什么? 二 、课堂合作·新知探究 二面角的概念 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 二面角的大小α的取值范围是0°≤α≤180°. 4.二面角的取值范围 二 、课堂合作·新知探究 二面角的概念 【观察】教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数. 教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上. 二 、课堂合作·新知探究 二面角的概念 一般地， 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β. 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. 平面与平面垂直的概念： β α β α 如何判定两个平面是否垂直？ 二 、课堂合作·新知探究 面面垂直 【情境分析】如图，建筑工人在砌墙时,常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直.如果系有铅锤的细线紧贴墙面,工人师傅就认为墙面垂直于地面,否则他就认为墙面不垂直于地面.这种方法说明了什么道理? 若墙面过地面的垂线,则墙面与地面垂直 二 、课堂合作·新知探究 面面垂直 类似结论也可以在长方体中发现.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,平面ADD'A'经过平面ABCD的一条垂线AA'，此时，平面ADD'A'垂直于平面ABCD. D B C A D' C' B' A' 二 、课堂合作·新知探究 面面垂直 平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么 这两个平面垂直. β α l l⊥α，lβα⊥β 符号表示： 线面垂直面面垂直 二 、课堂合作·新知探究 面面垂直判定 【例1】已知：如右图,正方体ABCD-A'B'C'D'. 求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'. A B C D A1 B1 C1 D1 证明： ∵ABCD-A'B'C'D'是正方体， ∴AA'⊥平面ABCD. ∴BD⊥AA'. 又BD⊥AC，AC∩AA'=A，AC、AA'平面ACC'A'， ∴BD⊥平面ACC'A'， ∴平面A'BD⊥平面ACC'A'. 又BD平面ABCD， 又BD平面A'BD 三 、例题导学·深化认识 【例2】已知：如右图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC. A B P C O 证明： ∴平面PAC⊥平面PBC. ∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC， ∴PA⊥BC. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA=90°，即BC⊥AC. 又PA∩AC=A，PA平面PAC，AC平面PAC， ∴BC⊥平