第6.3.2讲 二项式系数的性质-2023-2024学年新高二数学同步精讲精练宝典（人教A版2019选修第三册）

第六章 计数原理 第6.3.2讲 二项式系数的性质 班级_______ 姓名_______ 组号_______ 1．了解“杨辉三角”的常见规律，掌握二项式系数的性质与“杨辉三角”的关系，重点培养直观想象核心素养． 1、求指定项的二项式系数 2、二项式的系数和 3、综合应用 　“杨辉三角”与二项式系数的性质 (a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形状： (a＋b)0……………………………………1 (a＋b)1…………………………………1　1 (a＋b)2………………………………1　 2　1 (a＋b)3……………………………1　 3　 3　1 (a＋b)4………………………… 1　4　 6　 4　1 (a＋b)5……………………… 1　5　 10　10　5　1 (a＋b)6…………………… 1　 6　15　20　15　6　1 思考1　从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？ 提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和． 思考2　二项式系数的最大值有何规律？ 提示：先逐渐变大，再逐渐变小，中间项的二项式系数最大． 1．杨辉三角的主要性质 (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1； (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． 2．二项式系数的性质 对称性 C＝C，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 增减性与最大值 如果n为偶数，那么展开式中间一项T的二项式系数最大，最大为C 如果n为奇数，那么其展开式中间两项T与T的二项式系数相等且同时取得最大值，即C n＝C n 对称性 C＝C，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 各二项式系 数的和 二项展开式中各二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n－1，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋C＋…＝2n－1 题型1、求指定项的二项式系数 1．的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．120 C． D． 2．已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的项的系数为（    ） A．―4 B．84 C．―280 D．560 3．若二项展开式的第二项的二项式系数等于第五项的二项式系数，则该展开式中的含项的系数为（    ） A．80 B． C．14 D． 4．若的展开式中不含项，则实数m的值为（    ） A． B． C．0 D．1 5．二项展开式中与第项系数相等的项是（　　） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 题型2、二项式的系数和 6．在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（    ） A． B．二项式系数之和为256 C．将展开式中的各项重新随机排列，有理项相邻的概率为 D．展开式中的常数项为15 8．已知，则（    ） A．127 B．128 C．255 D．256 9．求和：（    ） A．512 B．1024 C．5120 D．10240 10．设，则被除的余数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型3、综合应用 11．将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（n为正整数），则下列结论中正确的是（    ） 第0行                  第1行                   第2行                      第3行                       ……             …… A．当时，中间的两项相等，且同时取得最大值 B．当时，中间一项为 C．第6行第5个数是 D． 12．则（ ） A．0 B．1 C．2 D． 13．若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 14．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m均为整数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记.若，且，则b的值可以是（    ） A．2019 B．20 C．2021 D．2022 15．伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题.当，时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．在的展开式中，的系数为（