第6.3.1讲 二项式定理-2023-2024学年新高二数学同步精讲精练宝典（人教A版2019选修第三册）

第六章 计数原理 第6.3.1讲 二项式定理 班级_______ 姓名_______ 组号_______ 1．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，，重点培养数学运算和数学抽象核心素养． 2．能解决与二项式有关的简单问题，重点提升数学运算、逻辑推理核心素养． 1、二项式展开式 2、求二项式的第k项 3、多项式的展开式 　二项式定理 从(a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)出发利用组合知识，观察(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3中右边各项是如何形成的？ 提示：(a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)，展开式中的任何一项都是在右边3个括号中各取一个字母相乘得到的，因此展开式中每一项都一定是3次项，即展开式中只能含有a3，a2b，ab2，b3.式右边展开后有多少个a2b呢？要得到a2b，式右边的3个括号中，要有1个取b(剩下的2个均取a)，因此共有C种取法，所以有C个a2b.同理可知，式右边展开后有C个ab2.类似地，a3可以看成式右边的3个括号中取0个b得到的结果，而b3可以看成式右边的3个括号中取3个b得到的结果，因此(a＋b)3＝Ca3＋Ca2b＋Cab2＋Cb3. 二项式定理及相关概念 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式 等式右边的式子 二项式系数 C为第k＋1项的二项式系数 二项展开式的 通项公式 Tk＋1＝Can－kbk [点睛] 1.二项展开式的特点：(1)展开式共有n＋1项，各项的次数都是n；(2)字母a按降幂排列，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，次数由0逐项加1直到n. 2．二项展开式的第r＋1项的二项式系数是C，所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，与a，b的取值无关． 3．在应用通项Tk＋1＝Can－kbk时，要注意： (1)通项是二项展开式的第k＋1项，而不是第k项． (2)(a＋b)n与(b＋a)n的二项展开式相同，但是(a＋b)n的第k＋1项为Can－kbk，(b＋a)n的第k＋1项为Cbn－kak.因此，应用二项式定理时，a与b是不能随便交换位置的． 题型1、二项式展开式 1．展开式中的项数为（    ） A．11 B．12 C．22 D． 2．二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 3．已知等式，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 4．（    ） A． B． C． D． 5．化简（    ） A． B． C． D． 题型2、求二项式的第k项 6．的展开式中常数项为第（    ）项 A．4 B．5 C．6 D．7 7．展开式中的第四项为（    ） A． B． C．240 D． 8．的展开式中，的系数为（    ） A．200 B．40 C．120 D．80 9．若的展开式中常数项是10，则m＝（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 10．若展开式中含有常数项，则n的最小值是（    ） A．2 B．3 C．12 D．10 题型3、多项式的展开式 11．下列各式中，不是的展开式中的项是（    ） A． B． C． D． 12．化简多项式的结果是（    ） A． B． C． D． 13．在的展开式中，的系数为（    ） A． B．21 C． D．15 14．在的展开式中，x2项的系数为（    ） A．30 B．45 C．60 D．90 15．的展开式的常数项为 A． B． C． D． 一、单选题 1．的展开式中常数项为第（    ）项 A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知(均为有理数),则的值为（    ） A．90 B．91 C．98 D．99 3．在的展开式中，的系数为，则实数的值为（    ） A． B． C． D．4 4．，则（    ） A．41 B．40 C． D． 5．在的展开式中，的系数是（    ） A．10 B．20 C．60 D．80 6．展开式中项系数为项系数为，则（    ） A．0 B．24 C．35 D．64 7．设的小数部分为x，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知的展开式中与的系数相等，则为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 9．若均为常数，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 10．设，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．展开式中二项式系数最大的项是第5项 三、填空题 11．设的小数部分为，则 . 12．的展开式中常数项为 ．（用数字作答） 四、解答题 13．已知展开式中的第3项与倒数第2项的二项式系数之和为55. (1)