8.6.2 直线与平面垂直(第二课时）课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第2课时 直线与平面垂直 的性质及线面、面面间的距离 一、温故知新·类比导入 类 比 线面平行 线线平行 线面垂直 ？ 性质定理 a α b α a 定义： β 异 面 平 行 √ 定义： 与平面内任意直线垂直 与直线 a 有其他特殊位置关系 与直线 a 只有 唯一的垂直关系 平面内的直线 平面外与 有关的直线 一、温故知新·类比导入 二、情境导入·性质探究 旗帜 马路栏杆 悬索桥 廊柱 二、性质探究·直观感知 二、性质探究·直观感知 【猜想】垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 若 ，则 . 求证： 证明： 从空间位置关系的角度： 平 行 异 面 相 交 二、性质探究·操作确认 当直线 相交时：设 若 ，则 . 求证： 证明： 假定直线 异面或相交. 当直线 异面时： a α b b’ O α a b P 综上所述：假定不成立， . β l 平面 内过点O与 垂直的直线有两条，不成立. 平面内过点P与 垂直的直线有两条，不成立. 思想方法：空间问题平面化 直观感知 二、性质探究·操作确认 若 ，则 . 符号语言： 垂直于同一个平面的两条直线平行. 直线与平面垂直的性质定理： 关键：与两直线垂 直的公共平面 α a b 二、性质探究·定理展示 【说明】直线与平面垂直的性质定理告诉我们,可以由两条直线与一个平面垂直判定这两条直线互相平行.直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系. 二、性质探究·深化思考 β 【思考】在a⊥α的条件下，如果平面α外的直线b与直线a垂直，你能得到什么结论? 你还能自己提出更多的问题，发现更多的结论吗? a b a a⊥α b⊥a b α b∥α a⊥α β//α a⊥β 【思考】如果平面β与平面α平行，你能得 到什么结论? 三、合作实践·例题导学 【例1】已知：如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点,N是A1C上一点，MN⊥平面A1DC. 证明： 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 四边形ADD1A1是正方形， CD⊥平面ADD1A1 所以AD1⊥A1D，AD1⊥DC. 又A1D∩DC=D，A1D、DC平面A1DC， 所以AD1⊥平面A1DC. 又MN⊥平面A1DC， 所以MN∥AD1 求证：MN∥AD1 A B C D A1 B1 C1 D1 M N 三、合作实践·例题导学 【例2】已知：如图，直线l平行于平面. 求证：直线l上各点到平面的距离相等. 证明： 过l上任意两点A、B作平面的垂线AA1、BB1，垂足分别为A1、B1. ∵AA1⊥，BB1⊥， ∴AA1//BB1. 设直线AA1、BB1确定的平面为β，β∩=A1B1. 所以直线l上各点到平面的距离相等. ∵l//a， ∴l//AA1， ∴四边形AA1B1B是矩形. ∴AA1=BB1. l l β A A1 B B1 三、合作实践·例题导学 1、线面距离：条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 2、面面距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 三、合作实践·例题导学 三、合作实践·例题导学 四、课堂小结·提高认识 五、布置作业·检测目标 教材P162习题8.6第5、14、20题 在观察与发现中欣赏垂直的关系， 在论证与应用中体会垂直的魅力， 在回顾与类比中探究垂直的性质， 徜徉于知识海洋中的快乐和充实也就蕴育而生…… 月光水岸 Bandari 史上最优美的轻音乐(Disk2) 2003-08-11 229813.8 eng - V1.0 【观察1】如图，在长方体 ，棱 ， ， ， 所在直线 都垂直于平面 ，它们之间具有什么位置关系？ 【观察2】如图，已知直线 ， 和平面 ，如果 ， ， 那么直线 ， 一定平行吗？ 解：如图，延长棱台各侧棱交于点 ，得到截得棱台的棱锥.过点 作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下底面交于点 ， ，则 垂直于棱台的上底面（想一想，为什么？），从而 . 【例3】推导棱台的体积公式 ，① 其中 ， 分别是棱台的上、下底面面积， 是高. 设截得棱台的棱锥的体积为 ，去掉的棱锥的体积为 、高为 ，则 .于是 ， . 所以棱台的体积 . 由棱台