8.6.2直线与平面垂直(第二课时）课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第2课时 直线与平面垂直 的性质及线面、面面间的距离 一、创设情境 引入新课 路面上的电线杆和路面是垂直关系,观察并思考,你还能得到什么样的位置关系? 二、探究新知 理解概念 问题1 如图,已知直线l⊥ ,则直线l与平面内任意一条直线m有何位置关系? 探究1 直线与平面垂直的性质 提示:垂直. 提示:垂直 平行 问题2 如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱AA1,BB1,CC1,DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何?它们彼此之间具有什么位置关系? 问题3 你能叙述出直线与平面垂直的性质定理? 提示:垂直于同一平面的两条直线平行. 问题4 如何用数学符号表示直线与平面垂直的性质定理?你能给出证明过程? 提示:若 ,则 问题4 如何用数学符号表示直线与平面垂直的性质定理?你能给出证明过程? 反证法 c b’ . O 提示:若a⊥ ,b⊥ ,则a∥b. 记直线b和 的交点为O, 则可过O作 b′∥a. 证明:假设a与b不平行. ∴a⊥c,b⊥c,又∵b′∥a,∴b′⊥c. 这样在平面 内过点O有两条直线b和b′都垂直直线c , 这不可能! ∵a⊥ , b⊥ ∴a∥b. 直线b 与b′确定平面 , 设 ∩ =c 反证法的步骤 1.否定结论 2.正确推理 3.导出矛盾肯定结论 问题5 通过上个问题的解决,你能总结使用反证法的步骤吗? 提示:①先否定结论;②从否定及已知条件出发通过正确推理得出矛盾;③由矛盾可知假设不成立,从而肯定结论. 问题6 若直线a垂直于平面 的一条垂线,则直线a与平面 一定平行吗? 提示:不一定,还可能在平面内. 问题7 如果两个平面同时垂直于同一条直线,则这两个平面是什么位置关系? 提示:平行. 探究3 空间中的距离 问题1 在空间中点到平面的距离是如何定义的? 提示:过平面 外一点A向平面 引垂线,则点A和垂足B之间的距离叫做点A到平面 的距离. 问题2 如图,若直线与平面平行,则直线上的点到平面的距离有何关系?你能给出证明吗? 提示:相等 问题3 结合问题2的性质,直线到平面的距离如何定义? 提示:一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离. 问题4 你能描述两个平行平面间的距离? 提示:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 问题5 点面距,线面距,面面距有何联系? 提示:线面距,面面距本质上是点面距. 三、举例应用 掌握概念 A B C l a 分析: 证明: A B C l a 四、学生练习 加深理解 解:连接AC、BD,则AC与BD交于点O. ∵PA⊥平面ABCD, ∴PA⊥BD,又∵PC⊥BD, PA∩PC=P,PA⊂平面PAC,PC⊂平面PAC ∴BD⊥平面PAC,又AC⊂平面PAC, ∴BD⊥AC,又ABCD为平行四边形, ∴ABCD为菱形. 五、归纳小结 提高认识 必做作业:教材155页第1,2,3题 六、布置作业 检测目标 选做作业:教材155页第4题 证明:过直线上任意两点分别作平面的垂线,垂足分别为. 设直线确定的平面为,, ∴四边形为矩形. 由是直线上任意两点,可知直线上各点到平面的距离相等. 例 如图,已知,于点A,于点B,求证:. 例2 推导棱台的体积公式 ,其中分别是棱台的上、下底面面积,h是高. 解:如图,延长棱台各侧棱交于点,得到截得棱台的棱锥.过点作棱台的下底面的垂线,分别与棱台的上、下底面交于点,则垂直于棱台的上底面,从而. 设截得棱台的棱锥的体积为,去掉的棱锥的体积为、高为,则. 于是 所以梭台的体积① 由梭台的上,下底面平行,可以证明梭台的上,下底面相似,并且 所以 代人①,得. 已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD, 则平行四边形一定是_. $$