8.6.1直线与直线垂直课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.1直线与直线垂直 一、情境导入 观察下面两个图形. 【问题】（1）教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线的位置关系是什么？ （2）六角螺母中直线AB与CD的位置关系是什么? CD与BE的位置关系是什么？ 异面直线 异面直线 平行直线 一、情境导入 与平行类似，垂直也是空间直线、平面之间的一种特殊位置关系，它在研究空间图形问题中具有重要作用. 类比平行关系的研究过程，接下来我们研究直线、平面之间的垂直关系，重点研究这些垂直关系的判定和性质. 空间两条直线的位置关系有三种:平行直线、相交直线和异面直线.在初中我们已经研究了平行直线和相交直线.异面直线又是怎么回事呢？今天我们就来研究一下. 3 二、新知探究 【观察】如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗?如果不同，如何表示这种差异呢? 我们知道，平面内两条直线相交形成4个角,其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)，它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度. 类似地，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系. D B C A D' C' B' A' 二、新知探究 如图，已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O分别作直线a'//a， b'//b，我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). α a b a' b' O 【说明】研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线.这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题. 直线a、b所成角的大小与点O的位置有关吗? 异面直线所成角的定义： 二、新知探究 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 直线与直线垂直 异面直线所成的角的范围为(0, ] 当两条直线a、b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°. 所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°. 异面直线所成角的范围？ 二、新知探究 【判断】 × × √ 二、新知探究 【训练】 90° 45° 90° 60° 三、例题导学 【例1】如右图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. (1)哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？ (2)求直线BA1与CC1所成角的大小. (3)求直线BA1与AC所成角的大小. 解： （1）棱AB、BC、CD、DA、A1B1、B1C1、 C1D1、D1A1所在直线与直线AA1垂直. （2）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为CC1∥BB1， 所以∠B1BA为直线BA1与CC1所成的角. 而∠B1BA=45°， 于是直线BA1与B1C 的夹角是45°. （3）连接A1C1、BC1. 则∠BA1C1为直线BA1与AC所成的角. 从而直线BA1与AC所成的角等于60°. 而△A1BC1是等边三角形， D B C A D1 C1 B1 A1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC//A1C1， 所以∠BA1C1=60°， 三、例题导学 求两条异面直线所成的角的一般步骤 （1）构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角. （2）计算角：求角度，常利用三角形. （3）确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角. 三、例题导学 三、例题导学 三、例题导学 【例2 】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1 为底面A1B1C1D1的中心,求证:AO1⊥BD. 证明： D B C A D1 C1 B1 A1 O1 连接B1D1. ∵ABCD-A1B1C1D1是正方体， ∴BB1 DD1. ∴四边形BB1D1D是平行四边形. ∴B1D1//BD. ∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角. 连接AB1、AD1， 又O1为底面A1B1C1D1的中心, ∴O1为B1D1的中点， ∴AO1⊥BD. ∴AO1⊥B1D1. 易证AB1=AD1. 三、例题导学 证明空间的两条直线垂直的方法： （1）定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直. （2）平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等. 三、例题导学 四、课堂小结 线线垂直 异面垂直 相交垂直 定义 范围 范围 定义 异面直线所成角 相交直线所成角 教材P162习题8.6第4、11、12、19题 五、布置作业 1.异面直线所成的角的大小与O