6.4.3 第1节 余弦定理和正弦定理（3大知识点+7大题型+分层练习）【名校生】2023-2024学年高一下数学知识讲与练（人教A版2019·必修二）

6.4.3 第1节 余弦定理和正弦定理 知识点1：余弦定理 3 知识点2　余弦定理在解三角形中的应用 3 知识点3：正弦定理 3 01余弦定理及辨析 4 02余弦定理理解三角形 5 03余弦定理边角互化的应用 6 04正弦定律及辨析 7 05正弦定律解三角形 7 06正弦定理在外接圆中的应用 8 07三角形面积公式及应用 9 【基础练·强化巩固】 10 【拓展练·培优拔高】 13 课堂目标 关键词 1. 借助向量的运算，掌握正弦定律和余弦定理 2. 利用余弦定理，探索三角形边长与角度的关系 3. 利用正弦定理，探索三角形边长与角度的关系 ①余弦定理 ②正弦定理 ③解三角形 知识点1：余弦定理 余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC 推论 cos A＝，cos B＝，cos C＝ b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C 知识点2　余弦定理在解三角形中的应用 特点 解题步骤 已知三角形的两边及其夹角 （1）利用余弦定理求出第三边. （2）先利用余弦定理的推论求出另一角，再利用三角形内角和定理求出第三个角； 已知三角形的两边及一边的对角 （1）利用余弦定理求出第三边； （2）利用余弦定理求出一个未知角； （3）利用三角形内角和定理求出第三个角 已知三角形的三边 （1）利用余弦定理求出一个角； （2）利用余弦定理求出第二个角； （3）利用三角形内角和定理求出第三个角 特别说明：用正弦定理求角时，角的取值需根据“大边对大角”进行取舍；用余弦定理求角时，因为在（0，π）上，余弦值对应的角是唯一的，所以不需要分情况讨论.故用余弦定理求解较好 知识点3：正弦定理 1．定义 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径． 2．正弦定理的推论 （1）a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC　. （2）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. （3）sin A＝，sin B＝，sin C＝. （4）＝＝＝ . 3．正弦定理可解决的两类问题 （1）已知两角和一边，解三角形． （2）已知两边和其中一边的对角，解三角形． 4．三角形的面积公式 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝（a＋b＋c）r，其中R是三角形外接圆的半径，r是三角形内切圆的半径． 思考： 在△ABC中，若sin A>sin B，是不是一定有A>B？反之，若A>B，是不是一定有sin A>sin B? 根据正弦定理可得sin A＝，sin B＝，所以若sin A>sin B，一定有a>b，于是A>B．反之，由A>B可得a>b，再由a＝2Rsin A，b＝2Rsin B知，一定有sin A>sin B（其中R为△ABC外接圆的半径）． 知识点4：已知两边和其中一边的对角解三角形情况的分布 0°＜A＜90° 90°≤A＜180° 图形 关系式 a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的情况 无解 一解 两解 一解 一解 无解 01余弦定理及辨析 【典例1】在中，若，则A=（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，则 ． 【变式1-2】（多选）在中，角、、的对边分别是、、，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 02余弦定理理解三角形 【典例2】若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足，且，则的值为 . 【变式2-1】在中，已知，解此三角形. 【变式2-2】在圆内接四边形中，已知，，平分． (1)若，求的长度； (2)求的值． 03余弦定理边角互化的应用 【典例3】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)若，求A； (2)若，求证：. 【变式3-1】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求的值； (2)若，，是的中点，求. 【变式3-2】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． (1)若，求角C； (2)在（1）的条件下，设点D满足，求． 04正弦定律及辨析 【典例4】在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式4-1】在中，若，则 . 【变式4-2】在钝角中，角A，B，C的对边分