6.4.1～6.4.2 平面几何中的向量方法&向量在物理中的应用举例（2大知识点+9大题型+分层练习）【名校生】2023-2024学年高一下数学知识讲与练（人教A版2019·必修二）

6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2向量在物理中的应用举例 知识点1：平面向量在几何中的应用 2 知识点2：向量在物理中的应用 3 01用向量证明线段垂直 3 02用向量解决夹角问题 4 03用向量解决线段长度问题 5 04向量与几何最值问题 5 05向量在几何中的应用 5 06解析法在向量中的应用 6 07力的合成 7 08速度、位移的合成 8 09功、动量的计算 9 【基础练·强化巩固】 9 【拓展练·培优拔高】 13 课堂目标 关键词 1. 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题 2. 体会向量在解决数学和实际问题中的作用 ①平面几何中的向量方法 ②物理中的向量方法 知识点1：平面向量在几何中的应用 1. 向量在平面几何中的应用 平面几何经常涉及距离(线段长度)和角度问题，而平面向量的运算，特别是数量积，主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决某些几何问题.用向量方法解决几何问题时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关系最后再把运算结果“翻译”成几何关系，便得到几何问题的结论. 2. 常见问题类型及向量解法 设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，<·>=θ 问题类型 解题方法 几何法 坐标法 平行或共线问题，全等相似问题 (∈R,≠) x1y2－x2y1＝0 垂直问题 ·=0 x1x2－y1y2＝0 求角问题 cos<·>= 长度问题 ||= ||= 当：＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则：||= 3．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用__向量__表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为__向量问题__； （2）通过__向量运算__，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“__翻译__”成几何关系． 4. 平面几何中证明问题的具体转化方法 （1）证明线段AB＝CD，可转化为证明2＝2. （2）证明线段AB∥CD，只需证明存在一个实数λ≠0，使　＝λ　成立． （3）证明两线段AB⊥CD，只需证明数量积·＝0. （4）证明A，B，C三点共线，只需证明存在一个实数λ≠0，使＝λ. 知识点2：向量在物理中的应用 向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．在解决具体问题时要明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识． (1)力、速度、加速度、位移都是向量． (2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减法． (3)动量mv就是数m与向量v的积． (4)功的定义即是力F与所产生的位移s的数量积F·s. 思考：用向量法解答物理问题的过程中，在给出答案时除了要考虑向量本身的意义，还要考虑什么？ 提示　还要考虑所给出的结果是否满足实际意义． 01用向量证明线段垂直 【典例1】用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 【变式1-1】已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【变式1-2】在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 02用向量解决夹角问题 【典例2】若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则 .    【变式2-2】已知的三个顶点分别为,求的大小． 03用向量解决线段长度问题 【典例3】在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】在直角中，，点P为平面内一动点，且满足，则的最大值为 . 【变式3-2】在中，内角的对边分别为，，，且满足，若为边上中线，，，则 . 04向量与几何最值问题 【典例4】如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点E为边CD上的动点，则的最小值为 ．    【变式4-1】在中，，，点为边的中点，点在边上运动，则的最大值为 . 【变式4-2】在平面内，定点满足，，动点P，M满足，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 05向量在几何中的应用 【典例5】如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.    【变式5-1】用向量的方法证明如图，在中，点E，F分别是AD和D