3.1～3.2 圆的相关概念和圆心角定理 复习学案 2023-2024学年北师大版九年级数学下册

圆的相关概念及圆心角定理复习 知识点梳理一 ★★★圆的认识 ◆（1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 ，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做 ，线段OA叫做 ．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“ ”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于 的点的 ． ◆（2）确定一个圆的两个要素：一是 ，二是 ； 决定圆的位置， 决定圆的大小. ◆（3）与圆有关的概念：弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 弦：连接圆上任意两点的 叫弦； 直径：经过圆心的 叫直径,是圆中最 的弦； 弧：圆上 的部分叫圆弧，简称弧； 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆 ； 优弧： 半圆的弧叫做优弧，用 个点表示，如图中 叫做优弧； 劣弧： 半圆的弧叫做劣弧，用 个点表示，如图中 叫做劣弧； 等圆：能够 的两个圆叫做等圆； 等弧：在同圆或等圆中，能够 的弧叫做等弧； 总结：1、等弧只在等圆或同圆中存在，大小不等的圆不存在等弧。 2、在一个圆中，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小； 3、直径是圆中最长的弦，弦不一定是直径； 4、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转不变性，即绕圆心旋转任意角度，所得的圆都与原来的图形重合。 知识点梳理二 ★★★圆心角、弧、弦 ◆圆心角：顶点在 的角叫做圆心角.一个圆心角所对的弧是唯一的. ◆圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦也 ． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个 、 、 中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 ． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．在已知两个圆心角相等或由两弦推两个圆心角相等时，必须限定同圆或等圆； 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，注意是度数相等，而不是角与弧相等； （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推 ”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的 性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． （5）总结： 同一圆中，证明两弦相等的4种方法： 1．若两弦位于两个不同的三角形，证明两弦所在的三角形全等； 2．若两弦位于同一个三角形中，根据等角对等边证明两弦相等； 3．在同一圆中证明两弦所对的弧相等（同一个类弧）； 4．证明两弧所对的圆心角相等． （6）总结： 1．在同圆或等圆中，证明两条弧相等，可证明两弧所对的圆心角相等； 2．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，注意是度数相等，而不是角与弧相等； 3．同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧． 【题型1 】圆的定义及有关概念 1.下列说法中，不正确的是（　　） A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的弧是等弧 2.下列说法： ①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑥弦是圆上任意两点之间的部分；⑦半径是弦。 正确的说法有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【题型2 】同圆或等圆的半径相等 3.如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 4.如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB，AC的圆心O的两侧，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数为（　　） A．100° B．110° C．125° D．130° 5．如图，是⊙的直径，是⊙的弦，、的延长线交于点，已知，若 为直角三角形，则的度数为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，延长AB，