第1板块 4 微点优化拓展——极化恒等式、等和线的应用-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

新高考方案·专题增分方略数学 微点优化拓展 极化恒等式、等和线的应用 提能点一 极化恒等式的应用 L.极化恒等式a·b= 1[(a+b)2-(a-b)2] …[思维建模] 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的 其几何意义为向量的数量 情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 积可以表示为以这组向量为邻 atb 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点： 边的平行四边形的“和对角线” 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为 中线长与第三边长的一半的平方差： 与“差对角线”平方差的子 第三步：利用平面几何方法求中线及第三边的长 2.平行四边形模式 度，从而求出数量积，如需进一步求数量积范围，可以 如图(1)，平行四边形ABCD,O是对角线交 用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于第 三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中 点.则AB·AD=子AC2-BD2). 线长的最值（范围）. [应用体验] 1.已知平面向量a,b满足|2a一b≤3，则a·b的 图(1) 图(2) 最小值为 () 3.三角形模式 如图(2)，在△ABC中，设D为BC的中点， A号 C.-1 则AB·AC=|AD12-1BD12. 2.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面 [记忆]向量的数量积等于第三边的中线长 ABC内一点，则PA·(PB+PC)的最小值是() 与第三边长的一半的平方差。 A.-2 B昌 C.-3 D.-1 [例1]已知等边△ABC内接于圆O:x2+ y2=1,且P是圆O上一点，则PA·(PB+PC)的 3.如图，在△ABC中，D是BC 最大值为 () 的中点，E,F是AD上的两个 A.2 B.1 C.3 D.2 三等分点.BA·CA=4,BF· 清分别用“常规解法”和“极化恒等式法”解题，并端摩比较这二种部法： CF=一1，则BE·CE的值为 4.已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O 上异于A,B的一点，P是圆O所在平面上任意 一点，则(PA+PB)·PC的最小值是 5.如图，在平行四边形ABCD 中，AB=1,AD=2,点E, F,G,H分别是AB,BC, CD,AD边上的中点，则EF·FG+Gi·HE 12 第一板块三角函数与平面向量 提能点二 等和线定理的应用 如图，对于平面内一组基底 OA,OB及任意向量OP,OP=1OA+ uOB(a∈R),若点P在直线AB 上或在平行于AB的直线A'B上，则入+4= (定值)，反之也成立.我们称直线AB以及与直线AB 平行的直线A'B为等和线.等和线有如下6个性质： (1)当等和线A'B'恰为直线AB时，k=1, (2)当等和线A'B'在点O和直线AB之间时，k∈(0,1).， (3)当直线AB在点O和等和线A'B'之间时，k∈ (1,+∞). (4)当等和线A'B'过点O时，k=0. (5)若两等和线关于点O对称，则它们对应的定值 [思维建模门 k互为相反数. 应用等和线定理求基底系数和问题的步骤 (1)确定值为1的等和线： (6)定值k与点O到等和线的距离有关，k= (01'O0B OA OB' (2)平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的允许存 在的区域，分析何处取得最大值和最小值： [例2](2023·丽水质检)给定 (3)从长度比或点的位置两个方面，计算最大值 两个长度为1的平面向量OA和 和最小值. OB,它们的夹角为经，如图所示，点 [应用体验] C在以O为圆心的B上运动，若OC-xOA+:6.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM yOB(x,y∈R),x+y的最大值是 的中点，AN=AAB+4AC(a,:∈R),则入+ 请分别用“常规解法”和“等和线法”解题，并捣峰比较这二种解法： 的值为 () 1 A. B号 444 c D.1 7.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D 在OA的延长线上，且AD=1,点P是△BCD (含边界)内的动点，设OP=AOC十：OD,则 A十：的最大值为 铺了133.选AC图为OP1-√msa十ina- 知图，建立平面直角坐 标系，则B(0,0), 1 1,1Op1=√cosB+(-sin8)=1,所 b,a= 以A项正确 3) a-ba 6 ,D(2,0) 因为|AP1【=√/(cosa-1)2十sin2a, 0≥号s且仅含一中b 3 3 LAP:(cos 8-1)2+(-sin c0.E(子.39） =√3时等号战立.圆为0≤(a一b,a)≤言： √(o1)+m压，当。=吾，8=君 E-(任）-（受） 所以0≤a-ba≤君，b-5时，(a 时，AP≠AP2,所以B项错误. 3 一b,a=音最大，此时a=2b=2, 周为0A=(1,0),0P=(0s(a+3), E=子×号× 4 2 4 3.选B以AB为x