1.2.1 直角三角形的性质及判定课件2023-2024学年北师大版八年级数学下册

1.2 直角三角形 第一章 三角形的证明 第1课时 直角三角形的性质与判定 直角三角形的两个锐角互余. 问题1 直角三角形的定义是什么？ 问题2 三角形内角和的性质是什么？ 有一个是直角的三角形叫直角三角形. 三角形内角和等于180°. 这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质. 复习引入 问题3 前面我们探究过直角三角形的哪些性质？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°. 直角三角形的性质与判定 问题1：直角三角形的两锐角互余，为什么？ 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，那么∠A +∠B=90°？ ∵ ∠A +∠B +∠C=180°，且∠C=90° ∴∠A +∠B=90°， 问题2：有两个角互余的三角形是直角三角形？ 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？ ∵ ∠A +∠B +∠C=180°，且∠A +∠B=90°， ∴∠C=90°. ∴△ABC是直角三角形. 勾股定理与逆定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2.又称为毕达哥拉斯定理. a c b 几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90° ∴a2+b2=c2 (勾股定理). a a a a b b b b c c c c 方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理． 验证方法一：毕达哥拉斯证法 如图，用4个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为 . (a+b)2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴ a2+b2=c2 c2 +4• ab ∵ (a+b)2 = c2 + 4• ab 5 如图，用4个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为 . c a b c a b 验证方法二：赵爽弦图 b c a b c =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴ a2+b2=c2 c2 4• ab+(b-a)2 ∵ c2= 4• ab +(b-a)2 b c a b c a A B C D 如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式，得 化简，得 验证方法三：美国总统证法 勾股定理与逆定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2.又称为毕达哥拉斯定理. a c b 勾股定理逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90° ∴a2+b2=c2 (勾股定理). 如何证明？ A B C 已知：如图，在△ABC中，AC2+BC2=AB2. 求证：△ABC是直角三角形． 分析：构造一个直角三角形与△ABC全等，你能自己写出证明过程吗？ 【例1】证明此命题： 证明：作Rt△DEF，使∠E=90°， DE=AC，FE=BC，连接DE 则DE2+EF2=DF2(勾股定理)． ∵AC2+BC2=AB2(已知)，DE=AC，FE=BC(作图)， ∴AB2=DF2， ∴AB=DF， ∴△ABC≌△DFE（SSS）． ∴∠C=∠E=90°， ∴△ABC是直角三角形． D F E ┏ A B C 已知：如图，在△ABC中，AC2+BC2=AB2. 求证：△ABC是直角三角形． 互逆命题与互逆定理 议一议 勾股定理逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 下面两个定理的条件和结论有什么样的关系？ 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件． 观察上面三组命题，你发现了什么? 1.两直线平行，内错角相等； 3.如果两个角是对顶角，那么它们相等； 4.如果两个角相等，那么他们是对顶角； 2.内错角相等，两直线平行； 5.一个三角形中相等的边所对的角相等； 6.一个三角形中相等的角所对的边相等； 说出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假： 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题. 归纳总结 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题