专题07 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题07 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1：直角三角形斜边中线模型 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，若AD为斜边上的中线，则： （1）；（2），为等腰三角形；（3），． 图1 图2 拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1）；（2）． 模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） 例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，为边上的中线，为边上的中线，若，则的长为（　　）    A． B． C． D．3 例2．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则 ． 例3．（2023·青海海东·统考三模）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（    ）   A．72 B．48 C．24 D．9 例4．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，四边形中，，，连接．是的中点，连接．若，则的面积为 ．    例5．（2023·江苏常州·中考真题）如图，是的弦，点C是优弧上的动点（C不与A、B重合），，垂足为H，点M是的中点．若的半径是3，则长的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例6．（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在中，于F，于E，M为的中点．(1)若，，求的周长；(2)若是等边三角形，求的度数．    模型2：中位线模型 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E，则DE//BC且，△ADE∽△ABC。 中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。 模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。 例1．（2023·云南·统考中考真题）如图，两点被池塘隔开，三点不共线．设的中点分别为．若米，则（    ）    A．4米 B．6米 C．8米 D．10米 例2．（2023·广西梧州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 例3．（2023下·四川广安·八年级校考阶段练习）如图，在菱形中，边长为1，，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去，…，则四边形的面积是 ． 例4.（2023·陕西西安·联考模拟预测）如图，在四边形中，点、分别是，的中点，且，若，，则的长为 ．               例5．（2023·北京海淀·校考模拟预测）如图，为的弦，，且，若点M、N分别是、的中点，则长的最大值是（　　）    A．4 B．5 C． D． 例6．（2023·河南信阳·校考三模）数学兴趣小组的同学在学习中点知识时，遇到如下一个问题：如图①，在边长为4的正方形中，点是边的中点，，连接，点分别是的中点，连接，求的长．小组成员展开讨论，方法多样、其中小佳同学的做法最具有推广性． 小佳同学是这样思考的： 题目中有两个中点，我想到用中位线，但是这两个中点所在的线段是交叉状态，所以可以通过轴对称将它变成“共顶点”的图形、这样就可以构造出三角形的中位线．具体如下：如图②．过点作，垂足为，易证四边形是矩形，连接、则点也是的中点，连接，则是的中位线，计算出的长度即可求出的长度． 根据以上信息，请回答以下问题：(1)点是中点的依据是__________________；(2)请根据小佳同学的思路写出具体的证明过程．(3)如图③，在中，，，将绕着点顺时针旋转，，分别是，的中点，当点落在的边上时（不包含顶点），求的长度．      模型3：中点四边形模型 中点四边形：依次连接四边形四边