2024年九年级中考数学专题复习：四边形证明题（基础题）

2024年九年级中考数学专题复习：四边形证明题（基础题） 1．如图，将长方形纸片沿折叠，使、两点重合．点落在点处．已知，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求线段的长． 2．如图，在中，平分交于点． (1)若，求的长； (2)若是的中点，连接，求证：平分． 3．如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使B点落在边上的点E处，折痕为．过点E作交于F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点E在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形的边长 ②若限定P、Q分别在边、上移动，菱形的面积的最大值为______；最小值为______． 4．如图1，在矩形中，对角线，交于点，点在边上，． (1)求证：． (2)如图2，点在线段上，，，求的长． 5．如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． (1)求证：四边形是正方形： (2)若正方形的面积为72，，求点F到线段的距离． 6．平行四边形中，点E在边上，对角线交于点F． (1)如图1，在平行四边形中，，，求证：； (2)如图2，在平行四边形中，，，那么与的长有什么关系？请证明你的结论； (3)如图3，在平行四边形中，，，，，求的长． 7．如图，在平行四边形中，是的中点，延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长和平行四边形的面积． 8．如图，在矩形中，点分别在边上，，垂足为点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 9．已知：如图，在四边形中，，平分交于点E，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，连接、，若，求的度数． 10．如图，已知，、相交于点O，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 11．如图，平行四边形中，．点F是线段的中点． (1)如图1，若，则______． (2)如图2，过点C作交于点G，延长线交于点H．且． ①若．求的值； ②连接．求证：． 12．如图，在平行四边形中，O是的中点，连接延长交的延长线于E，过点B作的平行线交的延长于点F． (1)证明：； (2)若是的角平分线，请判断四边形是什么特殊四边形，请说明理由． 13．如图，在矩形中，点E为的中点，连接，过点A作，垂足为F．    (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，求证：． 14．【发现】如图1，在中，D为上一点，连结，在上取一点E，连结，若，，求证：． 【应用】如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，，，若，求的长．    15．如图1．在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B），作，交的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标； ②求证：； (2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，求直线的解析式； (3)如图，连接交于F，连接，下列两个结论：①的长为定值；②平分，其中只有一个正确，选择并证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明：由折叠性质可知． ， ． ． 是等腰三角形． （2）解：设，由折叠可知． ， ． 在中，由勾股定理得， ． 解得． 由（1）得， ． 2．（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ， 平分， ， ， ； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，, ∵是的中点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， 平分． 3．（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边上的E处，折痕为， ∴点B与点E关于对称， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）①∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点B与点E关于对称， ∴， 在中， ， ∴， 在中，，， ∴，解得： ， ∴菱形的边长为； ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时，，则， 当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形为正方形，如图， 则， 那么， ∴菱形的面积范围为，即最大值为36；最小值为． 4．（1）证明：在矩形中， ，， ，， 又， ， ． （2），， ， ，， ， ， ， ， 在矩形中，， ． 5．（1）∵菱形的对角线和交于点O， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）∵正方形的面积为72， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴菱形的面积， ∴， ∴， 在中，， 设点F到线段的距离为h， ∴， 即， ∴． 即点F到线段的距离为． 6．（1）证明：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，