第一部分 第1板块 层级2 微专题（4）大题专攻——“解三角形”大题的规范解题路径-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第一部分第一板块三角函数与解三角形、平面向量 微专题（四） 大题专攻 “解三角形”大题的规范解题路径 解三角形问题重在“变”—变角、变式 尽管解三角形大题难度一般，但由于其公式多、性质繁， 解三角形解答题 两角间的和差 让不少同学解此类题目费神费力，消耗过多时间，解三角形问题 倍半变换 角 关键在于“变”一变角与变式.从“变角”来看，主要有：已知角 变 三角形内角和 与特殊角的变换，已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、 定典的变换 两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用. 变 统 换元 如：a=(a十3)-B=(a-3)+A,2a=(a十B)+(a-),2a= 名 g叶o）-g-a+日2生2,2-(e-号）-（受-）等 三角函数公式 21 式 从“变式”来看，在解决解三角形的问题时，常利用正、余弦定理 三角形中正、 化边为角或化角为边等。 余弦定理 形 [解题示范] sin 2B [典例] (2022·新高专I卷)i记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,已知十nA1十c0s2B 1若C-求B:(2)求的最小值。 2 [关键步骤] [解题样板] [微点提醒] ①变角：利用A十B+ cos A sin 2B 2sin Bcos B sin B C=π把角A十B用 (1)因为1十imA1+c0s2B 2cos2B cos B' 角C来表示，化未 psin B=cos Acos B-sin Asin B 知角为已知角，从而 求出角B. =0s(A+B)=-0sC-20 因为C-经所以0<B<骨所以B-吾 》灰影处易忽略由C=2 ②变式：利用正孩定：(2)由(1)知，sinB=一cosC>0, 得到0<B<受，从而出 理化边为角，从而化 所以5<C<,0<B<,而simB= 2 cos C=sin(C- 为同一角，以便进行 现增解B=5π 运算。 所以C=罗+B,即有A=号-2B. 2 》灰影处由于不能正确得 所以02+-im2A十sim2B_c0s22B+1-cos2Bg 到登<C<,0<B< sin2C cos2B ③变角：利用二倍 (2c0s2B-1)2+1-cos2B0 角公式化2B为B, 受，也就不能得到角B cos2B 统一角， 和角C的关系，影响后 cos B-5cos B+2-4cos?B+ COs B50 续的化简和变形. cos2B ④变式：构造应用基 ≥2w8-5=42-5. 本不等式的形式，以 当且权当os2B-号时取等号， 》灰影处不要忽略验证是 使来艺的最小值 否能取等号 所以2十的最小值为4V2-5 2 用了15 新高考方案·专题增分方略数学（理） [关键点拨] (1)求△ABC的面积： 1.利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤 ②者mAnC-9求么 找条件寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向 定工具 根据已知条件和转化方向，逃择使用内定弹和 公式，进行边角之问的转化 求结果 根据前两步分析，代入求值得出结果 再反总 转化过程中要注意转化的方向，审视结果的 合理性 2.解三角形中的注意点 (1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范 围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求 角的范围时可以利用余弦定理进行转化， (2)注意题目中的隐含条件，如A十B十C=π，0< A<π，b-c<a<b十c,三角形中大边对大角等. (3)注意挖掘特殊关系量，如： ①已知两角A,B与一边a,由A十B十C=π及 sin A sin B-sin C,可求出角C,再求b,c: b ②已知两边b,c与其夹角A,由a2=b2+c2- 2 becos A,求出a,再由余弦定理，求出角B,C: ③已知三边a,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C. [应用体验] (2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对 边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三 角形的面积依次为S1,S2,S.已知S-一S2十S= 课下请完成：第一板块课时验收评价（五） “解三角形”大题规范增分练 |16)又AB=100m,所以AC=100√2m 在△ADC中，∠ADC=90°+0，CD=50m. 吾）又（受，吾）=（吾号）所以-n(2-音小周为[0]所以 AC CD 由正铵定理样n0叮一品，所以在（一音，0）上是增画数，所以D成立. 2-∈[吾号]，将以当2-音 cos0=sin(0+90)= AC·sin15=-. 4.选C设a=(1,0), CD b=(x.y),由a一b 受，即r=行时，八x)m=1,当2-吾 2b1可得(r1)2+V 微专题（四） =(x2十y2),化前可得 誓即=子时，x=-马.t选C 2 解：0南S-8+8=号，得气- 3.x2+3y2+2x-1=0, 3.解析：结合正弦定理，由(2h一