第一部分 第1板块 层级2 微专题（2）平面向量-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

新高考方案·专题增分方略 数学（理） 微专题（二） 平面向量 命题点（一）三点共线的应用 [例1]在△ABC中，点D在BC上，且满足 [听课记录] BD=}BC,点E为AD上任意一点，若实数xy 满足BE=xBA+yBC,则+2的最小值为( xr y A.22 B.4√3 C.4+23 D.9+42 [关键点拨] 切人点由A,E,D三点共线，得x与y的关系式 隐藏点 若A,B,C三点共线，则存在实数A,使O丽 =10A+(1-A)0 障碍点想不到利用基本不等式求解 [听课记录] 口方法技巧 平面向量中的爪子模型指三点共线的向量问题 模型，由于其几何图形看起来像爪子，故称之为爪子 模型，解题关键点如下： 确定共线找到平面内共线的三点M,O,N和任意 的三点 一点A 写成规范 形式 AO=xAM+yAN M.O,N三点共线台存在实数A,使得AO 应用结论 =AAM+(1-A)AN D针对训练 1.在梯形ABCD中，AB∥CD且AB=4CD,点P在 边BC上，若AD-号AB+aAD,则实数X=(） [例2]在四边形ABCD中，AB∥CD,设AC A.青 B号 AB+ADAE风.若+-专期C-( ABI c A号 2.已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边 AB,AC分别相交于点P,Q,若AP-三AB,则 c △ABC与△APQ面积的比值为 8 第一部分第一板块三角函数与解三角形，平面向量 命题点（二）平面向量中的最值和范围问题 [例3]在平行四边形ABCD中，AB=√2， [听课记录] AD=2,∠A=135°，E,F分别是AB,AD上的点， 且AE=AAB,AF=uAD(其中入，∈(0,1)，且 3十=1.若线段EF的中点为M,则当|MC取 最小值时，长的值为 A.36 B.37 C.21 D.22 [听课记录] 口方法技巧 平面向量中有关最值、范围问题求解的两种思路 利用平面向量的几何意义将问题转化为平面 形化几何中的最值或范国问题，然后根据平面图 形的特征直接进行判断 利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代 数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程 数化 有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的 [例4](2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为 有关知识来解决 1,直线PA与⊙O相切于点A,直线PB与⊙O交 于B,C两点，D为BC的中点，若|PO=√2，则 针对训练 PA·PD的最大值为 () 3.如图，在直角梯形ABCD中，A= A.1+2 B1+22 B=90°，AD=4,AB=BC=2,点 2 2 M在以CD为直径的半圆上，且满 C.1+2 D.2+√2 足AM=mAB+nAD,则m十n的 [关键点拨] 最大值为 () A.2 B.3 利用勾股定理求|PA|,进而得∠POA,设 切人点 OP绕点P按逆时针旋转0后与PD重合 c-昌 D.10+5 4 迁移点求数量积的最值转化为求三角西数最值 4.已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，点P 不能得出0的范围或直接分类讨论点A、D 在BC边上（包括端点），则AD·AP的取值范 障碍点 的位置而加大计算量 用是 了9 新高考方案·专题增分方略数学（理） 命题点（三） 极化恒等式的应用 )极化恒等式：a·b-(安）-(2） [例6们]如图所示，正方体 ABCDA1B1CD1的棱长为2， 变式：①a·b=(a+b)2_(a-b)2 MN是它的内切球的一条弦 4 4 a·b=a+b12_1a-b12 (我们把球面上任意两点之间 4 的线段称为球的弦)，P为正方 ②如图，在△ABC中，设M为BC的 体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，PM· 中点，则AB·AC=AAM-MB2 P的取值范围是 (2)利用极化恒等式可以计算向量的分 [听课记录] 数量积、求数量积的最值和范围、求参数的值等， [例5]如图，在△ABC 中，D是BC的中点，E,F是AD 上的两个三等分点.BA·CA 4,BF·CF=一1，则BE·CE 的值为 [听课记录] D方法技巧 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行 转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形 为载体，含有线段中点的向量问题。 D针对训练 5.如图，在平行四边形ABCD 中，AB=1,AD=2,点E,F, G,H分别是AB,BC,CD, AD边上的中点，则EF·FG+ GH·HE= 6.已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上 异于A,B的一点，P是圆O所在平面上任意一 点，则(PA+PB)·PC的最小值为 课下请完成：第一板块课时验收评价（三） 综合性考法针对练 一平面向量 |10微专题（二》 因为=1-3动∈0)，所以0<<号，所以 [例们解析：由正方体的枚长为2，待内切 球的半径为1，正方体的作对角线长为23， 命题点（一）