2024年九年级中考数学专题复习：圆有关的证明

2024年九年级中考数学专题复习：圆有关的证明 1．如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的长． 2．如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 3．如图，已知是的直径，弦于点，点是线段延长线上的一点，连结交于点，连结交于点，连结，，． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)在（2）的条件下，设，． ①求关于的函数表达式； ②若为的中点，求的值． 4．如图，是的直径，、是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的直线相交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求线段的长． 5．如图，为的直径，为上的点，是的中点，于点，于点． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)连接、，若，求的长度． 6．是的直径，C是上一点，，垂足为D，过点A作的切线，与的延长线相交于点E． (1)如图1，求证 ； (2)如图2，连接，若，，求的长． 7．如图，与相切于点B，过点A作与相交于点C，点D，是的直径，连接． (1)求证：； (2)当，时，的半径____________． 8．如图，是的直径，相交于点，过点作与的延长线相交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 9．如图，是的直径，与交于，弦平分，，垂足为． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)若的半径为3，若，求线段． 10．如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，延长相交于点，连接． ①已知，求的长； ②记与的交点为，若，当时，求的值． 11．如图，直线与相切于点，交于点，的延长线交于点，，点在上，且不与，重合． (1)求的大小； (2)若，的延长线交直线于点，求证：与相切． 12．如图，是的直径，为的一条弦，是的中点，已知，． (1)求证：于； (2)求的半径． 13．如图，点D在的直径的延长线上，点C在上，平分于点E． (1)求证：是的切线． (2)是的切线，F为切点，若，求的长． 14．如图1，是的直径，点A在上，AD⊥BC，垂足为D，，分别交、于点F、G．    (1)求证：； (2)如图2，若点E与点A在直径的两侧，、的延长线交于点G，的延长线交于点F． ①问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； ②若，求． 15．数学兴趣小组的同学在探究等分问题的过程中，得到了很多成果． 成果一：制作了三分角仪．图（1）是示意图，点B在半径延长线上，，，足够长．若要将三等分，只需要适当放置三分角仪，使点A在上，点B落在上，当与半相切时，就将三等分了； 成果二：创造了只用圆规将圆四等分的方法．如图（2），具体步骤为：①将六等分，等分点分别是点A、B、C、D、E、F；②分别以点A、D为圆心，长为半径作弧，交于点G；③以点A为圆心，长为半径作弧，交于点M、N，则点A、M、D、N将四等分． (1)请你说明三分角仪的正确性； (2)证明点A、M、D、N是⊙O四等分点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明：连接、，如图所示： 是的直径， ，， ， 平分弦，平分， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 半径， 是的切线； （2）解：，， 在（1）的结论中有，， 在中，，则， 在中，， 在中，，则， ， 在中，， 是的切线， ， 在中，， ， 解得， ． 2．（1）证明：如图所示，连接， 圆心在上， 是的直径， ， 平分， ， ， ，即， ∵， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：在中，由勾股定理得， ∵，， 则垂直平分， ， 为的直径， ， 在中，，即， ． 3．（1）∵，是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）如图所示：可得， ∵， ∴，则 ∴， ∵， ∴设，则，即， 整理得：，解得：或（负数舍去）， 则， 由圆周角定理可知， 故． （3）①如图，过点作于H， ∴， ∴，    则， 设，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，过点做于点，于点， ∵为的中点，则， 又∵， ∴垂直平分，则， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（1）证明：由圆周角定理得：， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接， 是的直径，， ， ， 是的直径， ，， ， ，， ， ，即， 解得：， ． 5．（1）与相切． 证明：连接、， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 与相切． （2）如图，过作于，则四边