1.4 角平分线（1）教案 2023--2024学年北师大版数学八年级下册

1.4 角平分线（1）教案 教学 目标 1、能用尺规作已知角的平分线。 2、探索并证明角的平分线的性质定理，会利用角平分线的性质进行证明和计算。 3、能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题 4、体验从操作、测量、猜想、验证的过程，获得验证几何命题正确性的一般过程的活动经验 重点 角平分线性质和判定的证明 难点 角平分线性质和判定的应用 教学环节 教师活动 学生活动 知识回顾 1.什么是角平分线？ 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 2、在《生活中的轴对称》这一章中，我们通过折纸，得到了角平分线的什么性质呢？ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 新知导入 1.引入思考： 要在Ｓ区建一个集贸市场 （1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？ （2）它到公路，铁路距离相等且离公路, 铁路的交叉处4００米，应建在何处？ （比例尺 1：20 000） Ｓ Ｏ 公路 铁路 学生根据老师的提问回答问题. 新知讲解 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E. 求证：PD＝PE. 证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. ∵∠1＝∠2, OP＝OP ∴△PDO≌△PEO ( AAS ). ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等). 归纳：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 几何语言： ∵点P在∠AOB 平分线上， 且PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE. 练习1：如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是(　　) A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝OD C．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD 答案：D 想一想：你能写出定理：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你加以证明. 答案：逆命题：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．是真命题. 已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE． 求证：OP平分∠AOB. 证明：∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E，  ∴∠ODP＝∠OEP＝90°， ∵PD＝PE，OP＝OP， ∴Rt△DOP≌ Rt△EOP ( HL ). ∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等). ∴OP平分∠AOB. 归纳：角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 几何语言： ∵PD⊥OA，PE⊥OB， 且PD=PE， ∴点P在∠AOB 的平分线上. 追问：角平分线的性质定理及判定定理之间有什么关系呢？ 答：它们是一组互逆定理. 温馨提示： 角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径； 角平分线的逆定理是证明点在直线上（或直线经过某一点）的根据之一. 练习2：如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是( ) A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上都不对 答案：C 例1:如图,在△ABC中,∠BAC＝60°,点D在BC上,AD＝10, DE丄AB,DF丄AC ,垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长. 证明：∵DE丄AB, DF丄AC，垂足分分别为E，F, 且DE＝DF， ∴AD平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）. 又∵∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝30°. 在 Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10， ∴DE＝AD＝×10＝5 (在直角三角形中，如果一个锐角等于30°. 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 练习3：如图，已知BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D. 求证：AD平分∠BAC. 证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E， ∴∠DEB=∠DFC＝90°. 在△BDE和△CDF中， ∵∠BDE=∠CDF，∠DEB=∠DFC，BE=CF， ∴△BDE≌△CDF(AAS)． ∴DE=DF. 又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E， ∴AD平分∠BAC. 学生在老师的引导下进行证明. 学生归角平分线的性质定理，并将其转化为符号语言. 学生独立完成练习题，然后班内交流，并认真听老师的点评. 学生回答老师的问题，然后在老师的引导下进行证明. 学生归纳角平分线的判定定理，并将其转化为符号语言. 学生思考并回答问题. 学生独立完成例题及练习题，然后班内交流，并认真听老师的点评. 课