专题6.5 平面向量中的四心问题（4类必考点）-2023-2024学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.5 平面向量的四心问题 【考点1：重心问题】 1 【考点2：垂心问题】 3 【考点3：内心问题】 4 【考点4：外心问题】 5 【考点1：重心问题】 【知识点：三角形的重心】 1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成 三角形中线向量式： 2、重心的性质： （1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。 （2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 （3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，，则一定经过三角形的重心. 1．（2024·河南焦作·高一校考阶段练习）已知向量、（三点不共线），若，则点是（    ） A．的中点 B．的中点 C．的中点 D．的重心 2．（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知中，点为所在平面内一点，则“”是“点为重心”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·云南曲靖·高三校考阶段练习）已知为的重心，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（    ） A． B． C．2 D． 5．（2024·安徽安庆·高三安徽省怀宁县新安中学校考阶段练习）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 6．（2023·四川雅安·高三校联考期中）在中，，，，点是的重心，则（    ） A．7 B．8 C． D． 7．（2024上·辽宁大连·高一大连二十四中校考期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，． (1)求的值； (2)求的最小值，并求此时，的值． 【考点2：垂心问题】 【知识点：三角形的垂心】 1、垂心的定义：高的交点。 锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 4、奔驰定理推论：，. 1．（2024·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 2．（2024·辽宁沈阳·高一沈阳市第十一中学校考阶段练习）在中，若，则点H是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 3．（多选）（2023下·河南郑州·高一校联考期中）点为△所在平面内一点，则（   ） A．若，则点为△的重心 B．若，则点为△的垂心 C．若．则点为△的垂心 D．在中，设，那么动点的轨迹必通过△的外心 4．（多选）（2023下·河南郑州·高一郑州一中校考期中）设点D是所在平面内一点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则点D是边BC的中点 B．若，则直线AD经过的垂心 C．若，则点D在边BC的延长线上 D．若，且，则是面积的一半 5．（2023下·四川成都·高一石室中学校考期中）在中，AB＝5，AC＝6，D是BC的中点，H是的垂心，则 . 6．（2024·全国·高一专题练习）是所在平面上的一定点，动点满足，，，则点 形成的图形一定通过 的 ．（填外心或内心或重心或垂心） 7．（2024·高一单元测试）设，（为坐标原点），点为的垂心，求. 【考点3：内心问题】 【知识点：三角形的内心】 1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 2、常见内心向量式：是的内心， （1）（或） 其中，，分别是的三边、、的长， （2），，则一定经过三角形的内心. 1．（2024·高一课时练习）已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2．（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）已知点O是的内心，，，则（    ） A． B． C．2 D． 3．（2024·全国·高三专题练习）在中，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心  4．（2024·北京·高三强基计划）在中，，I为的内心，若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2023下·福建三明·高一统考期末）设为的内心，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023上·山东聊城·高三统考期中）已知是的内心，，，，则 ． 7．（多选）（2023下·四川成都·高一统考期末）已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则为的内心 C．若为的重心，是边上的中