数列知识清单-2024届高三数学一轮复习

数列 知识点　数列的有关概念及表示 1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照 排列的一列数 数列的项 数列中的 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式 表示，这个公式叫做数列的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝ 叫做数列的前n项和 2.数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点 画在平面直角坐标系中 公式法 通项 公式 把数列的通项使用 表示的方法 递推 公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 • 温馨提醒 • 二级结论 1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ 2．在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 必明易错 1．易混项与项数，它们是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一个确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． 2．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形. 1.已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并． 2．Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化． (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解； (2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 累加法:根据形如 (f(n)是可以求和的)的递推公式求通项公式时，常用累加法求出an－a1与n的关系式，进而得到an的通项公式. 累乘法:根据形如 (f(n)是可以求积的)的递推公式求通项公式时，常用累乘法求出与n的关系式，进而得到an的通项公式． 构造法：1.形如an＋1＝(p，q，r是常数)的数列，将其变形为＝·＋.若p＝r，则是等差数列，且公差为，即可用公式求通项． 2．根据形如 的递推关系式求通项公式时，一般先构造公比为p的等比数列{an＋x}，即将原递推关系式化为an＋1＋x＝p(an＋x)的形式，再求出数列{an＋x}的通项公式，最后求{an}的通项公式． 等差数列及其前n项和 知识点一　等差数列的概念与通项 1．等差数列的概念 (1)如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母d表示． 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)． (2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝ . 2．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝ . 通项公式的推广：an＝am＋ (m，n∈N*)． (2)等差数列的前n项和公式 Sn＝ ＝ (其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项)． ③要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．　 知识点二　等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和． (1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有 . (2)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是 数列； 当d＜0时，{an}是 数列；当d＝0时，{an}是 . (3) 若{an}，{bn}是等差数列， 为{an}前项和，Tn为{bn}前项和，则{pan＋qbn}也是等差数列，= (4) 若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差md的等差数列．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等差数列. • 温馨提醒 • 　三个必备结论 (1)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S偶－S奇＝