第5板块 9 创新应用考法——从宽度、深度、开放度上激活思维（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

创新应用考法——从宽度、深度、开放度上激活思维 一、命题“宽度”上——注重横向多元拓展 ■关联点：基本不等式＋直线的方程＋圆的轨迹方程 1．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值(不为1)的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点A(－1,0)和B(2,1)，且该平面内的点P满足|PA|＝|PB|，若点P的轨迹关于直线mx＋ny－2＝0(m>0，n>0)对称，则＋－15的最小值是(　 ) A．10＋2 B．10＋2 C．－5＋2 D．－7＋2 解析：选D　设点P的坐标为(x，y)，因为|PA|＝|PB|，则|PA|2＝2|PB|2，即(x＋1)2＋y2＝2[(x－2)2＋(y－1)2]，所以点P的轨迹方程为(x－5)2＋(y－2)2＝20.因为P点的轨迹关于直线mx＋ny－2＝0(m>0，n>0)对称，所以圆心(5,2)在此直线上，即5m＋2n＝2，所以＋－15＝(5m＋2n)－15＝－7＋≥－7＋×2＝－7＋2，当且仅当＝，即时，等号成立．故选D. ■关联点：双曲线性质＋裂项相消法求和＋三角形面积公式 2．已知一族双曲线En：x2－y2＝(n∈N*，且n≤2 023)，设直线x＝2与En在第一象限内的交点为An，由An向En的两条渐近线作垂线，垂足分别为Bn，Cn.记△AnBnCn面积为an，则a1＋a2＋…＋a2 023＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　由题意得，双曲线渐近线方程为y＝±x，即x＋y＝0，x－y＝0，两条渐近线互相垂直．设An(x0，y0)是双曲线上的点，则x－y＝，且An(x0，y0)到两条渐近线的距离分别为|AnBn|＝，|AnCn|＝.由于AnBn⊥AnCn，所以△AnBnCn的面积为an＝|AnBn|·|AnCn|＝··＝(x－y)＝×，即an＝×.所以a1＋a2＋…＋a2 023＝×＝＝. ■关联点：直线的倾斜角与斜率＋直线与抛物线的位置关系＋圆的方程 3．已知点P在抛物线C：y2＝2x上，直线l：y＝－x＋b(b<3)与抛物线C交于A，B两点(均不与P重合)，且直线PA，PB的倾斜角互补，设抛物线C的焦点为F，则以PF为直径的圆的标准方程为(　 ) A.2＋(y－1)2＝ B.2＋2＝ C.2＋(y－1)2＝ D.2＋(y－1)2＝ 解析：选C　设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以kPA＝，kPB＝. 由题意得，kPA＋kPB＝＋＝＋＝＋＝0，即y1＋y2＋2y0＝0. 由消去x得y2＋4y－4b＝0. 由Δ＝16＋16b>0，得b>－1， 所以y1＋y2＝－4，y1y2＝－4b.所以y0＝2，x0＝2，即P(2,2)． 又F，所以以PF为直径的圆的圆心为，半径为＝. 故所求圆的方程为2＋(y－1)2＝. ■关联点：三角恒等变换＋诱导公式＋双曲线的性质 4．人教A版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数y＝x＋的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线．现将函数y＝2x＋的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则该双曲线C的离心率是(　 ) A. B. C．10－4 D. 解析：选D　由y＝2x＋的两条渐近线分别为y＝2x，x＝0，所以该函数对应的双曲线焦点在y＝2x与x＝0夹角(锐角)的角平分线l上．设l：y＝kx且k＞2，若α，β分别是y＝kx，y＝2x的倾斜角，故tan α＝k，tan β＝2，故α－β为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角．由tan(α－β)＝tan＝，即tan(α－β)＝＝＝，整理得k2－4k－1＝0，可得k＝2＋(负值舍去)．所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C的一条渐近线的斜率为＝＝－2.故e＝＝＝. 二、命题“深度”上——强化纵向高次延伸 ■延伸链：化简减元→三角代换→求离心率 1．已知c是椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距，则取最大值时椭圆的离心率是(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　＝＋＝＋＝＋＝＋.∵a>b>0，∴0<<1.设＝cos θ，θ∈，则＝cos θ＋＝cos θ＋sin θ＝sin，∴当θ＝，即＝时，取最大值，此时离心率e＝＝＝.故选C. ■延伸链：换元→对勾函数单调性→求离心率范围 2．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足·＝0，|FB|≤|FA|≤3|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是(　 ) A. B. C. D．[－1,1) 解析：选B　如图所示，设椭圆的左焦点F′，由椭圆的对称性可知，四边形A